Re: [代數] 無窮大>0？

看板Math作者 (肥鵝)時間4年前 (2020/04/30 12:34), 4年前編輯推噓14(14推 0噓 45→)
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※ 引述《red0whale (red whale)》之銘言： : 雖然這個問題看似有點蠢 : 不過是不是「無窮大>0」呢? : 會這麼問是因為，在數學觀念裡，無窮大是一個概念，不是一個數 : 所以無窮大能不能跟數字比大小是疑惑的 : 然而，在我們的觀念裡，無窮大是一個比任何數還要大的「東西」 : 因此，「無窮大>0」也就正常人的觀念而言是再合理不過了 : 所以就這些觀點而言，無窮大是否會大於0呢? 數學上對於「數」的定義，比想像中的還要廣泛 不只有整數、小數之類的才叫數 例如 x、函數 f、矩陣 A，都可以拿來當成「數」 因此，根據需求，無窮大也可以當成數來用 一般人心中的「無窮大不是個數」 在數學這邊的講法是「無窮大不是個實數」 至於要不要接受無窮大的存在、無窮大當成數要怎麼用 那要看每個人的定義如何。 除了乾脆不承認無窮大的存在，那當然沒有 > 0 這個說法 還有一種定義，無窮大沒辦法大於 0：黎曼球 這是複數平面上，加上一個「∞」的點，使的整個平面的拓樸性質像一顆球 由於複數平面上基本不比大小，∞就不會 > 0 了 所以才會說，要看如何定義無窮大 最後，來偷渡一個東西： https://imgur.com/a/hqhYrHP 這是我自己做的一篇 Quiz，專門考驗一般人對於無限的想法 不過我覺得弄成圖片很沒feel，不知道有沒有更好的做法qw q -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.215.148.11 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1588221255.A.D3F.html
推
04/30 13:21, 4年前 , 1F
我可能有點咬文嚼字 不過我覺得Q1(A)的"有限"很怪
04/30 13:21, 1F
→
04/30 13:23, 4年前 , 2F
T大想表達的應該是:對於任何自然數n，
04/30 13:23, 2F
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04/30 13:25, 4年前 , 3F
{1, ... , n}是有限集合
04/30 13:25, 3F
如果改成「有限大的」呢？
推
04/30 13:38, 4年前 , 4F
T大，要視覺化請跑R軟體做動圖，謝謝
04/30 13:38, 4F
嗯嗯我會參考的ow o
→
04/30 13:45, 4年前 , 5F
實數線也可以加無限大變成一個圈。Compactification
04/30 13:45, 5F
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04/30 13:45, 4年前 , 6F
不只複數可以做。
04/30 13:45, 6F
原本直覺上為了避免order沒用實數，不過好像也可以
推
04/30 13:47, 4年前 , 7F
推A大，這我想應該回到實數完備性，由數學歸納法，
04/30 13:47, 7F
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04/30 13:47, 4年前 , 8F
由於在1到n之前的數都在實數線上，所以再加1也會在
04/30 13:47, 8F
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04/30 13:47, 4年前 , 9F
實數上，由於1+n仍是實數，這是因為實數是體，對加
04/30 13:47, 9F
→
04/30 13:47, 4年前 , 10F
法有封閉性。所以再加1還是在體中。
04/30 13:47, 10F
推
04/30 14:01, 4年前 , 11F
Quiz滿有趣的
04/30 14:01, 11F
→
04/30 14:07, 4年前 , 12F
@a大 我覺得那邊的有限主要是要和無限大做區隔
04/30 14:07, 12F
→
04/30 14:09, 4年前 , 13F
強調是自然數(實數也行),而不是正負無限大
04/30 14:09, 13F
推
04/30 14:47, 4年前 , 14F
第7題是Ross-Littlewood Paradox吧，如果不是在集合
04/30 14:47, 14F
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04/30 14:48, 4年前 , 15F
論上探討，直接說他錯不合理，不然為什麼是paradox
04/30 14:48, 15F
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04/30 14:55, 4年前 , 16F
第9題如果在微積分考肯定不是你說的這個答案...
04/30 14:55, 16F
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04/30 16:48, 4年前 , 17F
Q9 "極限路徑的長度" ≠ "路徑長度的極限"
04/30 16:48, 17F
推
04/30 17:13, 4年前 , 18F
確實Q9我看錯題意了，不過Q7我還是堅持是paradox
04/30 17:13, 18F
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04/30 17:18, 4年前 , 19F
那Q9解釋就不妥了吧，問題極限路徑就是BC，說長度
04/30 17:18, 19F
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04/30 17:18, 4年前 , 20F
無限的情況不屬於此類就不對了
04/30 17:18, 20F
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04/30 17:42, 4年前 , 21F
Q7 因為有給定球的編號 所以是有解的
04/30 17:42, 21F
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04/30 17:42, 4年前 , 22F
原 paradox 並沒有給球上編號 那種情況真的沒辦法
04/30 17:42, 22F
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04/30 18:01, 4年前 , 23F
那我就借用E大的思路問你：最後袋子有幾顆球到底是
04/30 18:01, 23F
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04/30 18:02, 4年前 , 24F
無限步之後去數幾顆球，還是先數球數取無限步呢？
04/30 18:02, 24F
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04/30 18:03, 4年前 , 25F
前者是你文中的答案，後者是常見直覺，但是這題目
04/30 18:03, 25F
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04/30 18:03, 4年前 , 26F
的意思完全等價於前者嗎？
04/30 18:03, 26F
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04/30 18:04, 4年前 , 27F
我覺得直接問最後有幾顆球就不是一個很良好的問法
04/30 18:04, 27F
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04/30 18:21, 4年前 , 28F
我不否認可能會有文字敘述上的問題
04/30 18:21, 28F
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04/30 18:22, 4年前 , 29F
實際上 這裡已經是v2版了 還是被挑出了敘述問題
04/30 18:22, 29F
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04/30 18:23, 4年前 , 30F
不過可以肯定的是 面對有關無限的問題
04/30 18:23, 30F
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04/30 18:24, 4年前 , 31F
使用數學語言會遠比使用直覺好的多
04/30 18:24, 31F
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04/30 18:24, 4年前 , 32F
你的直覺會背叛你 但數學不會XD
04/30 18:24, 32F
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04/30 18:25, 4年前 , 33F
以前在算排組的時候 可以不討論詳細情況
04/30 18:25, 33F
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04/30 18:26, 4年前 , 34F
直接拿數字連乘 也會得到一樣的結果
04/30 18:26, 34F
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04/30 18:27, 4年前 , 35F
但在無限這邊 「完成無限步驟」或「取極限」
04/30 18:27, 35F
→
04/30 18:27, 4年前 , 36F
和許多數學運算是不可交換的 此時順序就很重要
04/30 18:27, 36F
推
05/01 00:16, 4年前 , 37F
做了前兩題就對答案都有意見，直接跳出來。
05/01 00:16, 37F
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05/01 00:19, 4年前 , 38F
Q1: 無限大和實數之間的加法應該沒有公認的定義？
05/01 00:19, 38F
你對。我原本只想做給一般人，但確實應該也要嚴謹一些 例如 0 在 Riemann Sphere 上的倒數還真的是無限大 我會考慮改掉一部分的選項，避免不同定義的問題
→
05/01 00:21, 4年前 , 39F
Q2：既然沒有「小數第無限位」，那對它的任何敘述都
05/01 00:21, 39F
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05/01 00:21, 4年前 , 40F
為真吧？
05/01 00:21, 40F
乾我漏了qw q 題目要加存在性敘述 不知道怎麼改比較自然
推
05/01 08:18, 4年前 , 41F
我做Q1，Q2，Q3，Q4，Q7，Q9都跟答案不一樣==
05/01 08:18, 41F
推
05/02 17:40, 4年前 , 42F
A8有漏洞。0.3999... 0.x9xx... 0.xx9x... 0.xxx9..
05/02 17:40, 42F
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05/02 17:40, 4年前 , 43F
按規則做出的是 0.4000....=0.4，和第一個數相同。
05/02 17:40, 43F
難怪其他證明都是互換中間數字，輕忽了qw q ※ 編輯: TimcApple (49.215.148.11 臺灣), 05/02/2020 21:42:49
→
05/02 21:43, 4年前 , 44F
噢噢 手機終於編輯成功了qw q
05/02 21:43, 44F
推
05/03 03:52, 4年前 , 45F
能發現Q2敘述的漏洞真不簡單
05/03 03:52, 45F
→
05/03 03:53, 4年前 , 46F
照語言的直覺 不容易想到這個漏洞
05/03 03:53, 46F
推
05/03 13:03, 4年前 , 47F
我繼續往下多翻了幾題，深深覺得原po您最好先決定你
05/03 13:03, 47F
→
05/03 13:03, 4年前 , 48F
的無限大要用哪個定義，選好就別改
05/03 13:03, 48F
推
05/03 13:13, 4年前 , 49F
很多地方看得出原po心目中指涉的似乎是R^n聯集某種m
05/03 13:13, 49F
→
05/03 13:13, 4年前 , 50F
anifold of infinity，才會問出例如「無限大加一」
05/03 13:13, 50F
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05/03 13:13, 4年前 , 51F
這樣的問題。
05/03 13:13, 51F
推
05/03 13:23, 4年前 , 52F
但是補infinity manifold的方式並不唯一，補上以後
05/03 13:23, 52F
→
05/03 13:23, 4年前 , 53F
沒有理由要定義加減乘除，就算定義也沒有唯一定義。
05/03 13:23, 53F
沒辦法，因為不同情況考慮的 not finite，從根本上就不一樣 我使用的無限大的定義大致上有以下幾種 (1) Cardinality of N: Q5, Q7, Q9 (2) Ordinal omega: Q2 (3) Cardinality of some set which is not finite: Q1, Q3, Q8, Q10 (4) A number or concept larger then any real number: Q1, Q6 (5) Taking Limit: Q4, Q7, Q9 事實上我著重的點是 not finite, larger then finite 的性質 我並不考慮 Compactification 或 Projective Real 等作法 這些作法是把 infty 當成一個 point 看待，order 基本上不見了 我可以在最開始的時候強調這點 另外，也可以在所有題目的後面 加註數學家對於無限的界定與分類，說明哪個題目用了哪種無限 ※ 編輯: TimcApple (49.215.148.11 臺灣), 05/03/2020 14:42:36
推
05/03 17:42, 4年前 , 54F
我倒是覺得「∞+實數」才是∞相關加法定義最沒有疑
05/03 17:42, 54F
→
05/03 17:44, 4年前 , 55F
義的那一塊。因為無限大加實數不可能是實數，而且也
05/03 17:44, 55F
→
05/03 17:45, 4年前 , 56F
不可能是「其他」無限大。欸……不對，hyperreal #
05/03 17:45, 56F
→
05/03 17:45, 4年前 , 57F
的無限大+1就不是那個無限大本人了XD
05/03 17:45, 57F
→
05/03 17:48, 4年前 , 58F
不過作為cardinality或extended real number或CP^1
05/03 17:48, 58F
→
05/03 17:49, 4年前 , 59F
的這種情況，無限大+1都是無限大本人。
05/03 17:49, 59F
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