[線代] vector space 和 span(名詞)的差別

看板Math作者 (benasking7124@gmail.com)時間4年前 (2020/03/31 11:19), 4年前編輯推噓13(13推 0噓 81→)
留言94則, 6人參與, 4年前最新討論串1/2 (看更多)
各位大大好 如同標題 我想請問vector space 和 span有什麼差別？ 我有先爬過文 但是之前的幾篇我還是沒有看得很懂 所以想再請教一下 https://i.imgur.com/PV8UhhC.jpg
上面這個是我們的課文 裡面寫到"考慮一個向量的集合，如果裡面有兩個向量，他們的線性組合仍然在該集合裡面，那該集合就是一個向量空間" 後面則寫到"一個由給定向量以及他們的線性組合形成的集合，叫做span" 在我的理解，vector space 和 span 同樣是由幾個向量以及他們的線性組合構成的集合，看不出他們有什麼差別。 我本來以為span是生成vector space的東西，但那好像是基底在做的事情 我有去詢問我們教授，他的解釋是 span 中的向量 component 都是一樣的，但 vector space 不一定 但課本的第一句話就有說 "has the same component"，而且線性組合出來的向量component應該也要是一樣的吧？！ 所以我覺得這個說法還滿奇怪的 因此想請問 span 和 vector space 之間的關係是什麼？謝謝～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.121.118 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1585624774.A.5A3.html
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03/31 11:35, 4年前 , 1F
span是 這組向量的span
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03/31 11:36, 4年前 , 2F
它是跟這組向量有特定關係的形容
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03/31 11:37, 4年前 , 3F
所以我們口語上可以說一組向量能span出一個向量空間
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就把它當動詞用
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03/31 11:38, 4年前 , 5F
所以你看書上寫的是 span "of these vectors"
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所以 span 和 vector space 講的是同樣的東西 但是用不同的角度形容?! ※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 03/31/2020 12:15:51
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不一樣啊，vector space沒有指定哪一組
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span是vector (sub)space，並跟固定一組向量有關係
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我們會說A是一個向量空間，但不會直接說A是一個span
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推
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一定會說成是A是b這組向量的span
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03/31 12:20, 4年前 , 11F
令v是一個向量空間。從v中取有限或無限個元素當作
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s。則span s是包含s這個集合的最小子空間(v的子空間
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theorem1.5，照片要用小畫家開，不然解析度不夠。
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一個實例是考慮三維空間，在xy平面任取兩不平行向量
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則span s=xy平面
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所以可以說 span 就是 vector subspace 囉？！ 一組向量的span = 一組向量的vector subspace 可以這樣說嗎？ 所以一定要先有vector space才能有span嗎？ 不好意思 還是沒有完全理解 ※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:37:38 ※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:38:32
推
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對。先取好vector space 再取span 。這組span會是v
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的子空間(subspace)
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如果你沒有vector space的話，取linear combination
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叫做所有s的線性組合的集合。不過也許有人會誤用
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就是了
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一組向量的span = 一組向量的vector subspace 改為
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一組向量形成的subspace
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推
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你的s裡的元素很接近subspace的basis，差別在係數倍
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和可以多一點重複的base
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跟做一些加減係數倍
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了解了解 不好意思想再問一下 既然span跟subspace一模一樣為什麼還要用兩個名詞啊？有什麼特別的意義嗎？ ※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 03/31/2020 12:52:21
推
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為什麼會一模一樣呢?你把課本中span全換成subspace
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不覺得讀起來很奇怪嗎...
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然後你向量空間的定義也不太正確
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推
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subspace可以不知道他是那些元素展開，且強調它是子
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空間的性質。span會強調它是線性組合的性質，且它不
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一定能展成你所要的子空間。我們有一些慣用符號是約
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定俗成的，你只需要知道它們在某些意義上有關，但在
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不同定理上有時用span有時用subspace
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而且v可以有很多個subspace，span s只是其中一個sub
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space
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推
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你的想法很正確了，span s是某個subspace，可是如果
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還有 21 則推文
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集合，誰來span?
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推
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<=subspace的基底的span
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span的主詞是向量，指特定向量線性組合出來的空間
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主體
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先謝謝四位大大的解說 尤其是C大打了一長串的文字解釋 還有R大一開始的講解 謝謝你們 經過你們的解釋 我有大概理解span 和 subspace的差別了但還是不是很確定 想再確認一下 我現在的理解是 subspace和span最大的不同是定義的起點是不一樣的 前者是從集合 後者是向量 只是因為線性組合出來的東西符合subspace的定義 所以最後推導出的結果兩者是相同的 所以span只能用一組向量來描述；而subspace可以用其他的方式，像是v1+v2=0之類的來描述 所以我們只會問一個向量set是不是一個subspace 而不會問該set是不是一個span 然後我們之所以會說一組向量的span而不用subspace 是因為想要強調該集合不只包含原本? 不知道可不可以這樣比喻 就好像物理上的光和電磁波 本來各自是從光學和電磁學導出來的 ※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:32:24 ※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:55:06 ※ 編輯: benasking712 (140.113.121.118 臺灣), 04/01/2020 02:58:48
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04/01 03:05, 4年前 , 62F
我們本來就不會說「一組向量的subspace」，就算真的
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有人這樣講，那也一定是指那組向量的span
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例如現在有(0,1),(1,0)這兩個向量，我們不會說
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{(0,1),(1,0)}的subspace
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04/01 03:08, 4年前 , 66F
至少會講成包含這兩個向量的最小子空間之類的
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04/01 03:10, 4年前 , 67F
還有一個向量set通常都不會是空間，你現在遇到的狀
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況裡面，空間都是由無限個向量組成的
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再說一次，span是對特定一組向量的敘述，講的就是
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這組向量線性組合出來的所有向量的集合，當然它同時
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是子空間，但我們想表達的就是「這組向量」能span出
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這個子空間，所以說這個子空間是「這組向量」的span
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04/01 03:19, 4年前 , 73F
然後你內文裡面對向量空間的定義，把any弄不見了
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04/01 03:20, 4年前 , 74F
是裡面任意兩向量的線性組合都還在這集合裡面
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喔喔對ㄟ 不小心少了any之後 意思就變不一樣了 了解了解 謝謝你的解說 我想我了解span和subspace的差別了 再次謝謝你們~
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04/01 21:29, 4年前 , 75F
subspace=符合某些特性的集合
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04/01 21:30, 4年前 , 76F
任何的span都會是一個符合subspace特性的集合
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※ 編輯: benasking712 (140.113.121.120 臺灣), 04/02/2020 03:11:26
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04/02 03:15, 4年前 , 77F
我上面說一個向量set不會是空間少講了有限個數
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不過你應該懂我的意思
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04/02 03:24, 4年前 , 79F
是指說“有限個”向量set不會是空間 但無限個有可能
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04/02 03:24, 4年前 , 80F
這樣嗎？
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04/02 03:26, 4年前 , 81F
因為空間本來就是種向量集合，所以當然不對
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04/02 03:27, 4年前 , 82F
你現在會遇到的空間通常都是佈於實數或複數的，所以
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04/02 03:28, 4年前 , 83F
通常會包含無限個向量
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04/02 03:35, 4年前 , 84F
我覺得你現在最需要的是看或嘗試去證明span(S)是一
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個subspace
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04/02 03:36, 4年前 , 86F
這過程應該可以讓你更明白你現在的其他疑問
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04/02 03:38, 4年前 , 87F
不太懂你的意思 所以“有限個”是加在“還有一個“
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04/02 03:38, 4年前 , 88F
有限個的”向量set通常都不會是空間，” 是加在這個
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04/02 03:38, 4年前 , 89F
地方嗎？意思是向量空間也可以只有有限個向量？
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04/02 03:40, 4年前 , 90F
係數積的係數如果是有限體就可以只有有限個向量
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04/02 03:46, 4年前 , 91F
所以係數積的係數沒有規定一定要是實數？
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04/02 03:47, 4年前 , 92F
對，實際上任何體都可以用來當係數
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04/02 03:48, 4年前 , 93F
只是R跟C最常用而已
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04/02 03:48, 4年前 , 94F
好的了解 謝謝你的解說~謝謝
04/02 03:48, 94F
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