Re: [線代] A (A*A)^-1 A* = I
※ 引述《DJWS (...)》之銘言：
: A (A*A)^-1 A* = I
: 什麼情況下不會成立、什麼情況下會成立？
: (假設 A 的縱向向量線性獨立，換句話說 A*A 可逆。 (A*A)^-1 A* 是虛擬反矩陣。)
(手機排版太亂的話回家再修)
令A為mxn的矩陣
則
(1) 偽逆矩陣總是唯一存在, 記作A^+
(2) 下列敘述等價:
(a) A一對一
(b) A的縱向量線性獨立
(c) rank(A) = n
(d) A^*A 可逆
(e) A^+A = I
且當(a,b,c,d,e)其中一個成立時, 我們有A^+ = (A^*A)^-1 A*
依循你的條件"A縱向量線性獨立", 上述a~e都成立, 因此:
當 AA^+=I 時, 代表A onto, 而一個1-1, onto的矩陣必然是方陣
最後因為AA^+=I=A^+A, 偽逆矩陣即是反矩陣
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推
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4年前
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