Re: [中學] 數論題目已刪文

看板Math作者 (亮)時間4年前 (2019/10/20 22:05), 4年前編輯推噓8(8推 0噓 10→)
留言18則, 3人參與, 4年前最新討論串3/4 (看更多)
這一題我也沒想到中學數學的方法。不過這答案是對的。 原問題應該是Fermat曾經問過的一個問題：請問有哪些數字是夾在立方數和平方數之間。 可以列出其中一個式子： y^2=x^3-2 答案就是只有y=5,x=3 在原問題中當 x>1時，原問題就是Fermat 問的問題的特例。 有興趣的人可以查一下這問題有沒有初等的解法，再看看在特例原問題中，論證 能不能再更簡化。 ※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言： : 題目：3^x-p^2=2，x為正整數，p為質數 : 請問版上高手如何確定(x, p)=(3, 5)是唯一解? 謝謝! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.217.12.11 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1571580327.A.4C2.html ※ 編輯: GaussQQ (49.217.12.11 臺灣), 10/20/2019 22:06:01
推
10/21 01:26, 4年前 , 1F
那請問有高等數學的解法嗎
10/21 01:26, 1F
推
10/21 03:22, 4年前 , 2F
費馬這題記得有找到用 Z[√-2] 的唯一分解性的做法
10/21 03:22, 2F
→
10/21 03:23, 4年前 , 3F
再說其實在上篇我沒提, 但似乎若移去 p 質數的條件
10/21 03:23, 3F
→
10/21 03:24, 4年前 , 4F
則其實還有 (x,p)=(1,1) 這組正整數解
10/21 03:24, 4F
→
10/21 03:24, 4年前 , 5F
但這組解顯然跟費馬這題無關...
10/21 03:24, 5F
推
10/21 03:57, 4年前 , 6F
hmmm, 我似乎摸到一點邊了...
10/21 03:57, 6F
→
10/21 03:57, 4年前 , 7F
3 = (1+√-2)(1-√-2) 和 5+√-2 = (-1+√-2)^3
10/21 03:57, 7F
推
10/21 04:24, 4年前 , 8F
好像可以從這條路下去的樣子: 因為 3 有這個分解
10/21 04:24, 8F
→
10/21 04:25, 4年前 , 9F
然後 (y+√-2) 和 (y-√-2) 在 Z[√-2] 互質
10/21 04:25, 9F
→
10/21 04:25, 4年前 , 10F
所以一邊一定是 (1+√-2) 的高階次方 (或其相反數)
10/21 04:25, 10F
→
10/21 04:26, 4年前 , 11F
接著應該可以直接檢查 1+√-2 的高階次方
10/21 04:26, 11F
→
10/21 04:26, 4年前 , 12F
得到只有 1+√-2 和 -5-√-2 是我們要的
10/21 04:26, 12F
→
10/21 04:28, 4年前 , 13F
即是指 y 只能是 ±1, ±5
10/21 04:28, 13F
→
10/21 04:28, 4年前 , 14F
不太嚴謹, 不過看起來好像可以通
10/21 04:28, 14F
推
10/21 15:25, 4年前 , 15F
可以理解你的意思
10/21 15:25, 15F
推
10/22 12:56, 4年前 , 16F
如果看成p的多項式呢,因為p^2+2-3^x的判別式恆正
10/22 12:56, 16F
推
10/22 13:00, 4年前 , 17F
所以p有相異實數解1和5,所以p=5是唯一質數解
10/22 13:00, 17F
推
10/22 13:04, 4年前 , 18F
不對,這想法錯了,當我沒說
10/22 13:04, 18F
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