Re: [微積] 求極限 (ln(1+x^2))^2-(2ln(1+x))^2

看板Math作者sudiot (大白癡)時間5年前 (2019/06/01 23:13)推噓1(1推 0噓 5→)

留言6則, 1人參與討論串3/3 (看更多)

※ 引述《G41271 (茶)》之銘言： : 如題，求當x→∞時， : (ln(1+x^2))^2 - (2ln(1+x))^2 趨近於？ : 其中ln表示自然對數。 : 軟體跑出來是0，但我寫不出像樣的證明，故發文求助， : 還請大家不吝指導，感謝～使用夾擠定理在x>1的區域，ln(1+2x+x^2) > ln(1+x^2) > ln(x^2) > 0 所以 [ln(1+2x+x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2 > [ln(1+x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2 > [ln(x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2 第一個是0，中間是我們的題目，只要證明第三個在x→∞時為0就完成證明了 [ln(x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2= 4[lnx-ln(1+x)][lnx+ln(1+x)] 使用mean value theorem，∃δ∈R：x<x+δ<x+1使得 lnx-ln(1+x)=[1/(x+δ)][x-(x+1)]=-1/(x+δ) 其中δ不是常數，δ=δ(x) 所以 4[lnx-ln(1+x)][lnx+ln(1+x)]=-4[lnx+ln(1+x)]/(x+δ) =-4{[lnx+ln(1+x)]/x}[x/(x+δ)] 因為x<x+δ<x+1，所以lim[x/(x+δ)]=1 x→∞ 最後使用L'Hôpital's rule lim [lnx+ln(1+x)]/x = lim [1/x + 1/(1+x)]/1 = 0 x→∞ x→∞ 所以lim-4{[lnx+ln(1+x)]/x}[x/(x+δ)] = -4*0*1 = 0 x→∞ 證明完畢。至於原文一樓及Heaviside所說的方式不能直接使用的理由在於「when x→∞, A(x)→B(x)」的寫法會造成誤解它應該被寫成 lim [A(x)-B(x)] = 0 x→∞ 這並不表示在x→∞時，A可以換成B 例如： lim{[A(x)]^2-[B(x)]^2} x→∞ 就不能直接把A換成B得到0 因為 lim{[A(x)]^2-[B(x)]^2} = lim [A(x)-B(x)][A(x)+B(x)] x→∞ x→∞ 如果A和B在x→∞時會趨向∞，則要用L'Hôpital's rule才能知道結果是多少。像是 A(x)=exp(x)+1/x B(x)=exp(x)+1/(1+x) 就滿足 lim [A(x)-B(x)] = 0 x→∞ 但 lim{[A(x)]^2-[B(x)]^2} ≠ 0 x→∞ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.75.49.236 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1559402017.A.C81.html ※ 編輯: sudiot (42.75.49.236), 06/02/2019 06:12:23 ※ 編輯: sudiot (42.75.49.236), 06/02/2019 06:56:21

推

G41271

06/03 16:30, 5年前 , 1^F

06/03 16:30, 1^F

→

G41271

06/03 16:31, 5年前 , 2^F

06/03 16:31, 2^F

→

G41271

06/03 16:33, 5年前 , 3^F

06/03 16:33, 3^F