Re: [中學] 空間幾何

看板Math作者Desperato (肥鵝)時間5年前 (2019/06/01 05:20)推噓1(1推 0噓 8→)

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※ 引述《ttPttPtt (ttPtt)》之銘言： : 空間中有兩個四面體，兩者體積相同，已知其中一個的邊長除了一邊為x，其餘皆為√6；另外一個的邊長有其中兩邊為x，其餘皆為√6，求x為何？ : 詳解將兩個√6、√6、x的面拼起來組成一個面，再用畢氏定理解，但比較好奇的是這樣組出來真的可行嗎？ : ----- : Sent from JPTT on my HTC_X10u. 設 BC = CD = √6, BD = x, 將 BCD 放在水平面上，考慮 AB = AD = √6 設 E 是 B, D 中垂面，則 A 顯然在平面 E 上，以 BD 為旋轉軸更精確來說，A 的軌跡是通過 C 點的圓，圓心 O 為 BD 與 E 的交點因此顯然當角AOC遞增時，AC 會越長(樞紐定理) 其中明顯會有兩處會使得 AC 正好是 √6，分別在水平面上下方互相對稱取上方那個點是正確的 A 點，這樣就得到了唯一的 ABCD 四面體現在我們要用類似的方法取 A'B'C'D' 設 B'C' = C'D' = √6, B'D' = x, 將 B'C'D' 放在水平面上一樣設 A'B' = A'D' = √6，照上面的方法旋轉，希望 A'C' = x 此時注意，如果 A' 要和 A 一樣高(因為體積相等，底面相等 -> 高相等) 那就只能取使得角A'O'C' = 180度 - 角AOC 那個點因此實際上兩個四面體確實是可以拼起來的兩個四面體底面維持水平，滑動讓 O 對上 O'，就會合併起來由於此時 C, A = A', C' 皆在圓上，設 y = AA' 因此由角CAC'直角得到 6 + x^2 = y^2 以及底面CBDC'平四得到 6 + 6 + 6 + 6 = x^2 + y^2 解得 x = 3 ============================================================= 然而，其實不一定要 A'C' = x 也可以是 A'B' = A'C' = √6，A'D' 才是 x 所以首先把原本的 ABCD，看作 A 可以沿著 BC 轉動同樣 A 的軌跡是圓，圓心 O，但這次軌跡不見得會過 D 了沒關係，由於滿足 AD = √6 的軌跡是個球，D 不在對稱軸 BC 上因此圓軌跡和球軌跡至多只會交於兩點，肯定上下對稱於水平面同樣取上面那點是 A，就得到了唯一的 ABCD 現在一樣考慮 A'B' = A'C' = √6 由於體積相等，和上面一樣，A' 會自動出現在兩面夾補角的地方因此可以合併起來，同樣底面維持在水平面，將兩個 O, O' 併起來得到 A' = A 和 B' = C 和 C' = B 注意此時 DOD' 會連成一直線，因此 ADOD' 還是會在一平面上設 DD' = y, AO = z 由 ADD' 的中線 AO 可得 6 + x^2 = 2 z^2 + y^2/2 由 ABC 的中線 AO 可得 z = 3√2/2 (ABC是正三角形) 由底面 BDCD' 平四可得 6 + x^2 + 6 + x^2 = 6 + y^2 可得 6 + x^2 = 9 + x^2 + 3，炸掉了 ...欸怎麼就這樣炸了啊(翻桌) 算了，炸了就炸了，所以上面就唯一解了 -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.11.18.79 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1559337647.A.28F.html

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