Re: [分析] 哪邊可以找到這式我所需的證明
※ 引述《llrabel (不屈不撓)》之銘言：
: ※ 引述《keyesleo (以前曾經很帥)》之銘言：
: : e^(-X)^2對x從負無窮到正無窮的積分為pi^1/2
: : 想問
: : 若為求 e^a(-X-k）^2 對x從負無窮到正無窮的積分
: : 而其中a和k為複數
: : 則如何證明其值為（pi/a)^1/2
: : 我不知道如何說明解的形式與當a和k為實數時相同
: : 謝謝
: 接著，如果 Re(a)>0，我們可以用同樣的想法把 a 變成 1，但複雜得多，
: 只提幾個重點：
po完前一篇以後，我又想了一下，才發現其實用積分平方，
然後做極坐標變換的那個技巧，就可以省去把 a 變成 1 這一步。
我本來以為最後還是得做這件事，但其實不用，因為牽涉到的變換都是實數的。
說明如下。
假設已經把 k 變不見，因此現在要求 e^(-aX^2) 從負無窮積到正無窮。
把這個積分稱為 I，則 I^2 = ∫∫ e^(-a(X^2+Y^2)) dxdy
(這裡跟下面的 ∫ 範圍都是負無窮到正無窮)
注意，實變數複值函數 (也就是從 R^n 打到 C 的函數)，
它的積分其實只是把實部跟虛部分別積分
因此對上面的積分做極坐標變換，根本與複變無關(註1)
如果有疑慮，其實你可以把 e^(-a(X^2+Y^2)) 寫開成實部跟虛部，
分別做極坐標變換，再合併回來，應該就明白了
總之，得到 I^2 = 2pi∫e^(-ar^2)rdr
下一步變換 u=r^2 仍然只是實數的變換，然後就變成
I^2 = pi∫e^(-au)du
最後這個 e^(-au) 就可以直接積分得到 (-1/a)e^(-au)
(如果連這一步都有疑慮，一樣把它寫開成實部跟虛部分別做 (比較複雜一點)，
再合併回來，就會知道真的是這樣)
最後要把 1/a 開根號的時候有點不一樣
上一篇用複變的做法，在過程中我們已經取 a^(1/2) 的實部大於 0
改成上面的做法，變成要另外判斷，不過也很顯然
因為原來的積分顯然實部大於 0 (我們假設 Re(a)>0)
因此最後要開方 a^(1/2) 也是取實部大於 0 的那一個
【註1】嚴格來說，可以做極坐標變換，要確定 e^(-a(X^2+Y^2)) 是絕對可積
也就是說加了絕對值仍然可積 (這是為了用 Fubini 定理，細節在實分析中會學到)。
就是在這一步我們需要 Re(a)>0。因此上面直接操作負無窮到正無窮的積分，
對 Re(a) = 0 的情形是不嚴謹的，因此才有 D 大連結的那個回答，
教我們如何用逼近的方式處理 Re(a)=0 的情形。
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