Re: [分析] 哪邊可以找到這式我所需的證明
※ 引述《keyesleo (以前曾經很帥)》之銘言：
: e^(-X)^2對x從負無窮到正無窮的積分為pi^1/2
: 想問
: 若為求 e^a(-X-k）^2 對x從負無窮到正無窮的積分
: 而其中a和k為複數
: 則如何證明其值為（pi/a)^1/2
: 我不知道如何說明解的形式與當a和k為實數時相同
: 謝謝
你的括號都括得很奇怪，e^(-X)^2 應該是 e^(-X^2)
e^a(-X-k)^2 應該是 e^(-a(X+k)^2)，下面就用這個函數來討論。
推文中 D 大的連結討論的是收斂性的問題 (當 k=0, a=-i)。
事實上你問的積分只有當 Re(a) >= 0 才會收斂，
而且 Re(a) = 0 是條件收斂，就是連結中討論的情形。
不過這好像不是你的主要疑惑。
你的問題是為什麼各種牽涉到複數的變數變換會成立。
推文中有談到積分範圍會改變，正是如此！
要解決這個問題，還是要用到複變的理論，就是柯西積分定理：
"holomorphic function 沿著封閉路徑的積分等於0"
如果你對複變真的不熟，下面可以看個大概意思就好。
比如說，變數變換 X+k = z，會把積分路線從實數軸平移到實數軸+k
(如果 k 是實數那就根本沒有變)
而柯西的定理告訴我們這兩條路積分的結果是一樣的。
證明大致如下：
對任意實數 R>0，沿環狀路線 -R → R → R+k → -R+k → -R 的積分等於 0
讓 R 趨近無窮大，可以證明 R → R+k 以及 -R+k → -R 這兩段路徑積分會趨近 0
因此剩下 (-無窮 → 無窮) 跟 (無窮+k → -無窮+k) 兩個路徑相加等於 0
把第二個括號中的路線反過來走，積分值會變成負的
因此 (-無窮 → 無窮) 跟 (-無窮+k → 無窮+k) 一樣
上面的變數變換+柯西定理，就可以把 k 拿掉
接著，如果 Re(a)>0，我們可以用同樣的想法把 a 變成 1，但複雜得多，
只提幾個重點：
1. 不妨先做一個實數的變數變換把 a 的長度變成 1，會比較好做。
2. 假設 a 已經是一個長度為 1 的複數，接著做變數變換 z = X/a^(1/2)，
會把積分路線從實數軸變成一個斜線。
注意一般複數開根號有兩個選擇，並沒有標準選法。
這一步的 a^(1/2) 要選實部為正的那個。
(選實部為負的會有什麼困難，有興趣的可以自己試試看)
3. 選擇環狀路徑 -R → R → R/a^(1/2) → -R/a^(1/2) → -R，
其中第二段與第四段不妨走圓弧形路徑。
當 R 趨近無窮大，要證明這兩段積分趨近 0，就是在這一步會用到
Re(a) > 0 這個條件。
最後再給兩個 remark：
i) Re(a) = 0 條件收斂的情形沒辦法用上面的做法，要看 D 大的連結中的回答。
ii) 由於上面第2點，所謂 e^(-a(X+k)^2) 的積分等於
(pi/a)^(1/2)，其實還要講清楚這個 a^(1/2) 是實部大於 0 的那位
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※ 編輯: llrabel (218.164.14.251), 04/15/2019 02:21:44
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