Re: [機統] 估計母體平均觀念

看板Math作者OfficeGL (妤欣)時間5年前 (2019/03/12 16:10)推噓0(0推 0噓 9→)

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※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言： : ※ 引述《OfficeGL (妤欣)》之銘言： : : 一直搞不清楚估計 : : 看了原文書跟中文版越搞越模糊 : : 我的認知 : : 想要從有限樣本 n 來估計母體平均 : : 這個 n 實在混亂 : : 我認為 n 是每次sample的個數 : : 當然 n-> 無限大，那當然平均數會收斂到母體平均 : 到這裡為止，你用到的東西是「大數法則」。(前提是有母體平均。) : 不管是強版本還是弱版本，只要母體有平均， : 樣本平均就會以某種形式收斂到母體平均。 : : 而每次sample n筆會得到一次抽驗平均 : : X1, X2, X3, ... 一直抽樣下去 ... : : 而上述過程也是一個隨機變數 : : 我們叫做 K， K ~ Normal : 在這個階段，你用上了「中央極限定理」。 : 大致上是這個意思：[(X1+X2+...+Xn)/n-μ]/(σ/√n) 會收斂到標準常態分佈。 : 顯然，這次不只要有母體平均μ，母體標準差σ也不能是∞。 : 實務上常常會用這個想法： : (X1+X2+...+Xn)/n 差不多是一個常態分佈，平均μ、標準差σ/√n。 : : 而E[K]用來推估母體平均 : 你的 K 是什麼，我不太清楚，姑且先當作是 (X1+X2+...+Xn)/n 吧。 : 從上面可以知道 E[K] 就是μ，不是大概好像彷彿，兩個數字就是相等。 : 然後大數法則保證只要 n 很大，(X1+X2+...+Xn)/n 的抽樣值就很接近 E[K]。 : : VAR[K] 則表示上面式子的風險性高不高，有就是用來算信賴區間 : 信心水準約 68% 的信賴區間大概是 [μ-σ/√n, μ+σ/√n]。 : μ的估計方法已經找到了，問題在於我們不知道怎麼估計σ。 : 幸好，經過一番計算，E{ [(X1-K)^2+...+(Xn-K)^2]/(n-1) } = σ^2。 : 所以如果 n = 50 的話，只要重複取好多次 50 筆數據，我們就可以得到 σ^2 了！ : 假設又要做 50 次的話，光是為了估算母體標準差，就要取 2500 筆數據…… : 先補一個假設：試驗的母體分佈應該沒有很爛，相信 E[X^4] 一定是存在的。 : 用 S^2 稱呼剛剛那一串 [(X1-K)^2+...+(Xn-K)^2]/(n-1) 吧。 : 第二個幸好，除了 E[S^2] = σ^2 以外， : 算一算可以得到 Var(S^2) = E[(S^2-σ^2)^2] = (E[X^4]-E[X]^4)/n， : (這個計算是好久以前算的了，有一點點不太確定，但是跟 n 成反比才是重點。) : 與 E[(K-μ)^2] = σ^2/n 類似，說明了 S^2 大致上只在 σ^2 附近閒逛。 : 所以 S^2 的取樣值，差不多就能直接當作 σ^2 的估計值了。 : 此即樣本標準差之所以為「樣本」「標準差」。 : : 可是我看題目 : : 都是例如抽50筆 : : 這50筆的平均跟標準差就拿來估計信賴區間了 : : 這50筆不是只是一次抽樣而已嗎？ : : 一次抽樣就可以估計母體？ : : 不是應該要算E[K]跟Var[K]來估計信賴區間嗎？ : 重點在於我們用到大數法則和中央極限定理，所以在 n 夠大的狀況下， : K 只在母體平均附近閒逛，跟 E[K] 根本差不多； : 而 Var[K] = σ^2/n，又 S^2 也只在 σ^2 附近閒逛， : 所以 Var[K] 幾乎就是 S^2/n 的取樣值，不用再平均(除非還想再提高近似程度)。 : : 有高手幫忙教學嗎～ : : 真的頭暈腦脹 : 這篇說到的所有近似都有程度的問題，理論上 n 愈大就近似得愈好。謝謝你幫忙，雖然我描述的不是很看清楚你卻能猜出來我要問的東西，真的很厲害不過我有一點想再問觀測一次 n筆samples的平均 x’ 根據中央極限定律 x’的分配服從常態分佈且其期望值等於u就是母體平均那應該是x’ 介於［u-1.96sd, u+1.96sd] 到機率有95%這樣解釋為何在區間估計時反而是說 u 介於［x-1.96sd, x+1.96sd] 有95%信賴區間？這邊不懂謝謝解說 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.222.53.190 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1552378223.A.EA4.html

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Wzx66666

03/12 16:25, 5年前 , 1^F

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Wzx66666

03/12 16:25, 5年前 , 2^F

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Vulpix

03/12 16:29, 5年前 , 3^F

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