Re: [幾何] 請問一題國中幾何
※ 引述《jenshi (小旭)》之銘言：
: https://imgur.com/a/2t8HM7K
: 目前有想到ADEC共圓之後用外冪
: 不知道還有沒有其他國中生容易理解的方法？
來做國中生肯定理解但是一點都不喜歡的方法吧(?)
設 AE = h, BD = x, DA = y, AC = √2y 顯然可得
(1) x^2 + y^2 = 5^2
(2) 2^2 + h^2 = (x+y)^2
(3) 3^2 + h^2 = 2y^2
由於題目需求，關鍵是消掉 x, y 就好
(1)+(3) x^2+ y^2+ 9+ h^2 = 25+2y^2
(4) x^2- y^2 = 16 - h^2
2(1)+(2) 2x^2+2y^2+ 4+ h^2 = 50+ x^2+2xy+ y^2
(5) (x- y)^2 = 46 - h^2
(6) (x+ y)^2 = 4 + h^2 (2) 左右交換
由 (4)^2 = (5)(6) 可得 (16-h^2)^2 = (46-h^2)(4+h^2)
設 z = h^2 可得 z^2 - 32z + 256 = -z^2 + 42z + 184
即 2z^2 - 74z + 72 = 0, z^2 - 37z + 36 = 0
顯然 z = 1 or 36, h = 1 or 6
由圖可知明顯 x < h, (4) 可得 16 - h^2 < 0, 因此 h = 6
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好吧我們來認真討論國中生會快樂一點的解法
設中心點垂心 H, 高 AE = h
由相似性質可得 △CEH ~ △CDB ~ △AEB ~ △ADH (垂心基本相似)
由於實際上 △CDB = △ADH, 可得 AH = 5 (45度角用在這裡)
另外 △CEH ~ △AEB 考慮非斜邊的兩邊相似可得
3 : (h-5) = h : 2
h^2 - 5h - 6 = 0, h = 6, △ABC = 15
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嗯嗯ow o
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