Re: [其他] 簡化公式
: 我這幾天嘗試用下面這兩個公式嘗試簡化看看
: 但是還是簡化不出來= =
: https://i.imgur.com/ryUkqtC.jpg
: 數學很差，求大神幫忙
提供一個方法 以 k = 3 為例
以下是 |i-j| 的表格
j 0 1 2 3 4 5 6 7
i
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 0 1 2 3 4 5 6
2 2 1 0 1 2 3 4 5
3 3 2 1 0 1 2 3 4
4 4 3 2 1 0 1 2 3
5 5 4 3 2 1 0 1 2
6 6 5 4 3 2 1 0 1
7 7 6 5 4 3 2 1 0
所以可以斜的一排一排算，每個斜排有 2^k-m 個 m
1 2^k-1 2^k-1
------- sum sum (i-j)^2
2^k 2^k i=0 j=0
1 2^k-1
= ------- 2 sum (2^k - m) m^2
2^k 2^k m=1
2 2^k 2^k-1 2 2^k-1
= ------- sum m^2 - ------- sum m^3
2^k 2^k m=1 2^k 2^k m=1
2 2^k 1 2 1
= ------- --- (2^k-1)(2^k)(2 2^k-1) - ------- --- (2^k-1)^2 (2^k)^2
2^k 2^k 6 2^k 2^k 4
1
= --- (2^k-1) ( 4 2^k - 2 - 3 2^k + 3 )
6
1
= --- (2^(2k)-1)
6
這邊有用到 sum m^2 和 sum m^3 的公式
不過(理論上)應該也有其他方式繞過 m^3
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嗯嗯ow o
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