Re: [機統] E[g(x)] ≠ g[E(x)]

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間6年前 (2018/04/13 18:14)推噓2(2推 0噓 3→)

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※ 引述《gamlty99 (548+9)》之銘言： : 如題 : 只有在 g 是linear transformation時等號才會成立 : 請問要怎麼檢驗 g 是不是線性變換? : 例如 : E[aX+b] = aE[X] + b 是線性變換 : E[1/X] ≠ 1/E[X] 不是線性變換 : 謝謝看你修文好像都搞在一起了，幫你整理：【線性變換】(linear transformation) 給定兩個向量空間V,W與共用的體F，你可以想成V=R^n, W=R^m, F=R 我們定義函數f：V→W 是一個在F上的線性變換為： f 滿足 f(ax+by) = af(x) + bf(y) for any x,y€V, a,b€F 例如： V=R^2, W=R^3, F=R f(x,y) := (x,x,y) 【仿射變換】(affine transformation) 給定兩個向量空間V,W與共用的體F 我們定義函數f：V→W 是一個在F上的仿射變換為： f 可以寫成 g+p, 其中g是V→W的線性變換，p是W中的一個向量 (仿射變換即是線性變換的平移；線性變換是仿射變換的特例) 例如： V=R^2, W=R^3, F=R f(x,y) := (x+1,x+2,y+3) 【期望值】任給一個樣本空間 (Ω,Σ,Pr) 與隨機變數X：Ω→R 定義X的期望值 E[X] := ∫ X(w) dPr(w) Ω ● 有些書定義 E[X] := ∫ x*p(x) dx , 其中p(x)是X(w)的機率密度函數 R 若這個定義你比較輕鬆就採取這個吧【性質】若g：R→R為一個仿射變換，那對於任何隨機變數X(w)，下面式子恆成立： E[g(X)] = g[E(X)] pf：(1) 首先給你當練習，若f：R→R為線性變換，則f(x)必為ax這種形式 (2) 由定義知道g(x) = f(x) + p , f(x) = ax by (1), p€R 因此g(x) = ax + p 所以 E[g(X)] = ∫ g(X(w)) dPr(w) Ω = ∫ [a*X(w) + p] dPr(w) Ω = ∫ a*X(w) dPr(w) + ∫ p dPr(w) Ω Ω = a∫ X(w) dPr(w) + p∫ dPr(w) Ω Ω ^^^^^^^^^ → Pr(Ω) = 1 全空間機率是1 = a*E[X] + p = g(E[X]) --------------------------------------------------- 以上就是你要的答案再來就是請高手指教的問題了 (1) 若g：R→R是一個連續函數/可微函數/解析函數且 E[g(X)] = g(E[X]) for some X(w) 是否可推出g必為仿射變換 (2) 若g：R→R是一個連續函數/可微函數/解析函數且 E[g(X)] = g(E[X]) for all X(w) 是否可推出g必為仿射變換 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1523614463.A.B71.html

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wohtp

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