[分析] Lagrange乘數法是否saddle (500p)

看板Math作者 (QQ)時間8年前 (2017/12/29 10:02), 8年前編輯推噓1(1推 0噓 23→)
留言24則, 2人參與, 8年前最新討論串1/6 (看更多)
首先謝謝L大與c大的一起討論 500p奉上 我對於Lagrange function微分卡住的點完全就是c大那個配方可以解決 所以可以解出x_i=1/n for all i ---------------------------------------------------------------------- 但是現在有個極大問題點是： lagrange算出來的(xi,lamda)有可能是 saddle , local max, local min 我昨晚查了以前筆記&網路例題 都是直接說他是local extreme然後在再去看函數值誰大 直接忽略掉鞍點可能性 但是照這個定理的證明來看 只能確保local extreme一定有乘數關係(lamda) 反之不一定 如果今天f在解出來的那個點(p_1,...,p_n)是local extreme without restraints 那加上restraints也會是同型的local extreme 但如果是下面例子： 以f(x,y)= x^2y^2 , x+y=1 舉例, lamda我用a代表 F(x,y,a)= x^2y^2 -a(x+y-1) 令F_x=F_y=F_a=0 解得(x,y,a)的可能性是(0,1,0) , (1,0,0) , (1/2,1/2,1/4) 我們考慮(x,y) = (1/2,1/2)的話 畫圖或是硬爆確實可得f在(1/2,1/2)有local max w.r.t. x+y=1 但f在(1/2,1/2)是saddle point without restraints ----------------------------------------------------------- 總之 除了下面三種方法 1.畫圖 2.寫出限制條件的顯函數硬爆 3.碰巧沒限制條件時在該點是local extreme 有沒有其他方法可以判斷lagrange算出的點是否saddle P.S. (a) 我目前有找到lagrange算出的點是saddle的例子 但是那例子該點grad f = 0 目前朝著 grad f, grad g都不為零當條件去嘗試 (g是限制函數) (因為以等位線來看, 相切的地方幾乎不可能是鞍點, 只有f等位線很醜時才可能) (b) wiki有說到充分條件： Sufficient conditions for a constrained local maximum or minimum can be stated in terms of a sequence of principal minors (determinants of upper-left-justified sub-matrices) of the bordered Hessian matrix of second derivatives of the Lagrangian expression 如果是這個的話，為什麼每個例題都沒用到這個就能斷定非saddle？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1514512962.A.E3E.html
推
12/29 10:23, 8年前 , 1F
你想要找的東西就是高階導數判定，談Hessian就是在
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12/29 10:25, 8年前 , 2F
看二階判定。那可以用Hessian是否正定或負定來確定
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12/29 10:26, 8年前 , 3F
是否是極值。但一般做習題的時候，常常有以下狀況：
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12/29 10:28, 8年前 , 4F
1.函數在邊界發散至無窮大→這樣我們想找的global
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12/29 10:30, 8年前 , 5F
min.只有一個，比函數值就好。2.自變量範圍compact
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12/29 10:31, 8年前 , 6F
→那連續函數必有max.和min.，最大和最小的那兩個就
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12/29 10:33, 8年前 , 7F
是了。其實只是因為，我們通常想找最大值或最小值，
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12/29 10:34, 8年前 , 8F
而且是顯然存在的那種，所以才忽視saddle。
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12/29 10:36, 8年前 , 9F
就像f(x)=(x^2-1)^2顯然最小是0，我們就不微分了。
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12/29 10:37, 8年前 , 10F
即使微分了，得到f'(x)=4x*(x^2-1) => x=0,1,-1，
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12/29 10:38, 8年前 , 11F
也只會代回去算f(1)=0=f(-1),f(0)=1，然後就說1和-1
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12/29 10:38, 8年前 , 12F
那兒有最小，0那兒有極大。除非題目很龜毛，否則根
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12/29 10:40, 8年前 , 13F
本不會花力氣去算f"(x)=12x^2-4，然後f"(1)=8=f(-1)
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12/29 10:41, 8年前 , 14F
還有f"(0)=-4。
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12/29 10:42, 8年前 , 15F
如果題目是說要找所有local extrema，而且候選人很
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12/29 10:44, 8年前 , 16F
多，那就需要高階導數判定。例題一直都是這種樣子，
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12/29 10:46, 8年前 , 17F
就像各種工數用書，明明很多級數解的解題過程只適用
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12/29 10:47, 8年前 , 18F
於x>0，然後還想要算收斂半徑；又或者在分離變數解
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12/29 10:48, 8年前 , 19F
ODE的時候，都不考慮分母是不是0、積分1/x後的ln|x|
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12/29 10:49, 8年前 , 20F
的絕對值等。都是因為瑣碎才在例題中捨棄的。
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12/29 10:52, 8年前 , 21F
V大你講的是沒有限制函數的吧??
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12/29 10:52, 8年前 , 22F
restricted on g(x,y)=C
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12/29 11:00, 8年前 , 23F
你可以自己弄一個f限制在g=0上長成(x^2-1)^2，例如
12/29 11:00, 23F
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12/29 11:01, 8年前 , 24F
f(x,y)=(xy-1)(x^2-1), restrict on x-y=0.
12/29 11:01, 24F
V大不好意思 我聽不懂你意思耶 可以請您以下面這例子做論證嗎？ -------------------------------------- 使用lagrange乘數法 證明(1/2,1/2) 是 f(x,y)=x^2y^2 restriced on S:={(x,y)€R^2│x+y=1} 的local max pf: 用lagrange乘數法, 已得知(1/2,1/2)可能是f在S上的saddle, local extreme 因為 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 所以 (1/2,1/2)是f在S上的local max ------------------------------------- 麻煩您說明 XXXXX 的地方 謝謝! ※ 編輯: znmkhxrw (220.128.169.29), 12/29/2017 13:14:20
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