Re: [中學] 最小值問題
※ 引述《joyfound (羊)》之銘言：
: 已知 m、n皆大於0
: 求
: (n+4)^2 (m+1)^2
: -------- + -------- 的最小值 （同時請問此時m、n為？）
: m n
: 謝謝回答，感激不盡
[((n+4)/√m)^2 + ((m+1)/√n)^2]*[(√m)^2 + (√n)^2]
≧ [(n+4)+(m+1)]^2 (柯西不等式)
原式*(m+n) ≧ (m+n+5)^2 = (m+n)^2 + 10(m+n) +25
原式 ≧ (m+n) + 25/(m+n) + 10
≧ 2*√25 + 10 = 20 (算幾不等式)
再來檢視等號成立條件
1. m+n = 25/(m+n) → m+n = 5
2. (n+4)/√m／√m = (m+1)/√n／√n
n^2 + 4n = m^2 + m 由1.令m = 5-n
解得 m = 3, n = 2
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