Re: [幾何] 空間幾何考古題
※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言：
: 在某家補習班講義上看到的題目 疑似是某高中段考考古題
: 已知有兩直線過點 (0,1,2) 且完全在 3x^2+5y^2+z^2-8xz+8xy-9=0
: 求此兩直線形成的平面 E 方程式 (以ax+by+cz+d=0表示)
: 姑且用gradient炸開了 可是感覺很作弊...
: 應該有正常簡單的高中解法吧(?)
容易驗證 (0,1,2) 在方程上
令這直線的參數式為 (0,1,2) + t(1,p,q), 代入方程整理成 t 的多項式為
(5p^2+q^2+8p-8q+3) t^2 + (10p+4q-8) t = 0
對所有 t 都成立 (直線全在方程式上) 所以兩係數都是 0
10p+4q-8 = 0 化為 q = 2-(5/2)p 代入 5p^2+q^2+8p-8q+3=0
展開整理得 (45/4)p^2+18p-9 = 0, 或 5p^2+8p-4=0, 或 (5p-2)(p+2)=0
故 p = -2 or 2/5, 對應的 q 為 7 or 1
也就是所求直線方向向量為 (1,-2,7) 或 (1,2/5,1), 後者化為整數為 (5,2,5)
(1,-2,7) 外積 (5,2,5) 得 (-24,30,12) 即為所求平面法向量
或約去公因數為 (-4,5,2)
所求即為 -4x+5y+2z+d=0 顯然它過 (0,1,2), 代入得 d = -9
即此平面為 -4x+5y+2z-9=0 #
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補充一下, 這題的方程是曲面, 不只是曲線
問題一用修文回好了因為有點多:
(1) 會選 x 分量為 1 是看方程形式裡沒有 yz 項
所以代入後沒有 pq 項可以簡化計算
(2) 至於 x 分量是否可能為 0, 這裡我現在覺得應該要多寫一段證明不可能:
如果 x 分量是 0, 那直線會在 x=0 (即 yz 平面) 上
但曲面和 x=0 的交集 5y^2+z^2-9=0 是個橢圓, 沒有包含一條直線
(這其實跟前一項提的沒有 yz 項也有相關)
※ 編輯: LPH66 (123.195.9.46), 11/13/2017 02:14:36
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