Re: [微積] 線段長定義的問題

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間8年前 (2017/10/19 00:22)推噓7(7推 0噓 20→)

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你把整個弄混了重新釐清一次先給定一個定義在[a,b]的有界實函數f 再來任給[a,b]的一個分割 P = {a=x_0<x_1<...<x_n=b} (分割就是分割點) 則有下列定義： (1) 黎曼和：在每個分割點間[x_(i-1),x_i]任選一個點e_i€[x_(i-1),x_i] n 則Σ f(e_i)(x_i-x_(i-1)) 就是f的一個黎曼和, 記做R(f,P,e_i) i=1 (2) 上黎曼和：對分割點間[x_(i-1),x_i]取函數f的確上界sup 即 M_i := sup f(x) [x_(i-1),x_i] n 則 Σ M_i(x_i-x_(i-1)) 就是f的一個上黎曼和, 記做U(f,P) i=1 (2) 下黎曼和：對分割點間[x_(i-1),x_i]取函數f的確下界inf 即 m_i := inf f(x) [x_(i-1),x_i] n 則 Σ m_i(x_i-x_(i-1)) 就是f的一個下黎曼和, 記做L(f,P) i=1 ╴ (3) 上(黎曼)積分： inf{U(f,P)：跑遍任何分割P} 就是f的上積分, 記做 S f (又稱作上達布積分) (4) 下(黎曼)積分： sup{L(f,P)：跑遍任何分割P} 就是f的上積分, 記做 S f (又稱作下達布積分) ￣￣接著，黎曼可積有以下這兩個等價定義：（實際上更多，不占版面了） ╴ (a) S f = S f ￣ (b) 存在實數L滿足以下敘述：任給ε>0，存在一個分割P_ε，使得對所有滿足比P_ε更細的分割P 都有 │R(f,P,e_i)-L│<ε, for any e_i chosen in [x_(i-1),x_i] ------------------------------------------------------------------- 接著看你問題 ※ 引述《ppu12372 (高能兒)》之銘言： : 標題: [微積] 線段長定義的問題 : 時間: Wed Oct 18 21:43:01 2017 : : https://imgur.com/a/L3725 : : 線段長的定義,如圖1 : : 取極限後經過推導會變成積分這其實不太算真正的推導但是概念上很正確因為lim_{n→∞}會讓你以為"找到某種分割形式去逼近"就好實際上我們要的是"不論怎麼切只要夠細都可以到一樣的極限值" : : 可是,圖3,Riemann Integral的定義不是必須要上和極限等於下和極限嗎?? : : 但線段長的取極限後只有下和呀這裡正是我思考怎麼跟你說的地方這兩句的下和不太一樣 ╴ 黎曼積分的定義靈感是來自於圖形面積，所以定義為 S f = S f 非常合理￣但你說的 "線段長的取極限後只有下和" 很奇怪，是誰的下和？我假設你想表達的是：線段長的加總長度比曲線短，所以稱作下和而確實對於曲線長度的估計，我們找不到比曲線還要長的參考值去逼近曲線長因此才會只考慮分割線段，只要分割越細，線段和就會更長，所以才把曲線的長度定義成分割到無限細的時候嚴格敘述見我之前的回文中【弧長】部分 #1PpEjbC4 這邊注意到：我在講曲線的部分完全沒講到黎曼積分喔所以我才會覺得你把他搞在一起，為什麼曲線長跟黎曼下和有關係你所截的圖只是告訴你，每一個線段長度可以用平均值定理寫成 [f'^2(t_1)+g'(t_2)^2]^0.5 而上面這個這個式子跟這個函數 F(x):= [f'(x)^2+g'(x)^2]^0.5 的黎曼和很像差別就在於F(x)的黎曼和的f',g'裡頭塞的變數要一樣 : : 為什麼可以說取極限後就是Riemann Integral,然後用圖4的微積分基本定理呢?? 沒用到微積分基本定理呀哪裡看到的??? : 圖2還提到了Riemann Integral,但即使取極限後也只是下和, : 不會是Riemann Integral呀XDDDDD 這正是為什麼要加上這個條件：f,g的微分都是連續的 ----------------------------------------------------------- 簡單兩句話總結： (1) 曲線長的定義就是分割成無限段的線段和 (高微的total variation) (2) 若各分量函數(以書上就是兩分量f,g)是連續可微則曲線長就可證出是[f'(x)^2+g'(x)^2]^0.5在[a,b]的積分 (關鍵當然就是如何處理f',g'裡頭的變數，用到高微的均勻連續這也是為什麼需要f,g要求是連續可微的) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.242.107 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1508343722.A.282.html

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