Re: [微積] 表面積的積分與體積積分(圓盤法)的疑問
※ 引述《anoymouse (沒有暱稱)》之銘言：
: 使用書籍:Thomas' Calculus
: 假設函式都是繞著x軸旋轉
: 積一個物體體積用圓盤法∫A(x)dx,x from a to b
: 積一個物體的表面積 ∫2πf(x)[(1+f'(x))^1/2]dx,x from a to b
: 積表面積用reimann sum來看每一小段都是2π * (f(x1)-f(x2))/2 * (Δx^2+Δy^2)^1/2
: (Δx^2+Δy^2)^1/2 是每一小段表面積的因為物體曲面造成的長度
: 疑問是為什麼要考慮物體表面因曲面所造成的長度,不能因為每一小段都因無限小的關係而
: 視為dx?使函式變成∫2πf(x)dx
: 為什麼求體積的時候dx卻不用考慮曲面造成的誤差?
: 謝謝
問題確實就在於 "每段都無限小" But "有無限多段" 才需要有定義
舉個例來說：三角形邊長c的長度是？我們都知道是√(a^2+b^2)
c
◢ b
a
但是如果把c切很多段，每一段很小，因此每一段的長度就近似於a的每一段
然後得出c的長度等於a的長度
這個就是沒有極限的定義才會如此
回到你的問題，先看看面積與弧長（你的case是體積與表面積，道理一模一樣）：
【面積】
任給一個定義在[a,b]的非負連續函數f(其實黎曼可積即可)
將[a,b]分成n等份,分割點為 P_n= {a=x_0<x_1<...<x_n=b}
令f在[a,b]的圖下面積為A、[x_(i-1),x_i]的圖下面積為A_i
則我們知道：
(1) A = A_1 + .... + A_n , for all n
(2) L(f,[x_(i-1),x_i]) <= A_i <= U(f,[x_(i-1),x_i])
↓ ↓
f在[x_(i-1),x_i]的下黎曼和 f在[x_(i-1),x_i]的上黎曼和
注意：這邊的"<="很容易只是"<"，就是你所質疑的"誤差"
現在要證明：當f是連續函數，這個誤差值是可以忽略的
即我們可以算出某個值(就是積分值)，且證明這個值完全等於A
pf：由(1),(2) sum i=1~n，我們得到
L(f,P_n) <= A <= U(f,P_n)
b
而藉由 lim L(f,P_n) = lim U(f,P_n) = ∫ f(x)dx
n→∞ n→∞ a
b
我們可以得到 A = ∫ f(x)dx
a
P.S.
如果你想的比較多可能會懷疑，為什麼f圖下面積=f的積分值是證明來的，明明是定義！
是的，嚴格來說，我上面是在說明"為什麼f圖下面積要定義成f的積分值"
因為基於"直觀畫圖的面積概念"，我們才有上面的(2)式
(A,A_i嚴格來說，根本沒有嚴格定義，所以我們才想要"定")
只是用畫圖的方式(但直觀)定義出A,A_i，之後去證明積分值確實等於畫圖的面積A
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【弧長】(任給一個定義在[a,b]的C^1函數f)
這就是你想比較的東西了，"面積"的case已經說明了忽略沒關係，那弧長發生什麼事？
跟面積做比較的話，面積可以直觀畫出A_i，然後利用下長方形跟上長方形去夾(上式(2))
但是弧長呢？ 假設弧長為L（這裡一樣採取不嚴謹的圖形定義，L就是那條線長度）
不像面積case可以找到逼近的上界
但是有直觀的逼近下界，就是將這條曲線任意切n段，再把這n個分割點用直線相連
則畫圖會發現每一段直線長度都<=該段曲線
因此 每段直線長度總合 <= L
而且依據三角不等式，每比上次分割多一個分割點，直線長度總和就會更多，但仍<=L
最後直觀上認為，狂切超級多段時，根本會跟原本曲線黏在一起
因此我們就定義 L:= sup { V(α,P)：P是[a,b]的分割點 } , where α(x):=(x,f(x))
( sup表示取最大值 ， V(α,P)就是直線長度總和 )
b b
至於常用的 L := ∫ √(1+f'(x)^2) dx，單純是 sup{V}=∫ √(1+f'(x)^2) dx 而已
a a
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體積跟表面積也是一樣道理
體積：改由上下圓盤(長方形旋轉)體積逼近
表面積：改由截面圓錐(直線旋轉)側面積逼近
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C^1: 可微且微分後的函數f'是連續的
P是[a,b]的分割點: P is a partition of [a,b]
舉例來說[a,b]=[0,1] 如果把它3等分 0,1/3,2/3,1
則P就是這四個點{0,1/3,2/3,1}
因此我才會寫P_n= {a=x_0<x_1<...<x_n=b}
推
09/28 23:41, , 5F
09/28 23:41, 5F
我只是小渣渣 別這樣QQ
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.8.250), 09/29/2017 16:13:57
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