Re: [分析] lim(1+x/n)^n建構exp(x)某個步驟

看板Math作者Vulpix (Sebastian)時間8年前 (2017/07/11 18:44)推噓4(4推 0噓 13→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 推 Vulpix : 其實我有點好奇，你收歛性怎麼證的XD 07/11 16:58 : → Vulpix : 通常用遞增且有上界的時候也會用到這個手法。 07/11 16:59 : : 欸我收斂性沒用到你這個耶(把x用附近的整數去做比較) : : V大你這個idea應該是：因為還沒有整數之外的次方，所以拿旁邊的整數來比較 : : 而整數的次方已經well-defined了 : : 我證收斂如下： : n : Let a_n(x)如上，b_n(x) =:Σ x^k/k! : k=0 : : 考慮n>=2 : n : Then a_n(x)=(二項式展開)=1+x+Σ (x^k/k!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n) : k=2 : 這個展開也好漂亮啊。 : :=E_n(x)+O_n(x) , 偶數項+奇數項 for any x€R : : (會這樣拆是為了x<0的收斂性) : : 則 : : (1) x=0：a_n(x) = 1 所以 a(x) 也等於 1 => a(x)>0。 : : (2) x>0：a_n(x)↗ < b_n(x), 而b_n(x)收斂 : 因此a_n遞增有上界於是收斂這邊就可以肯定 a_n(x)↗a(x)>0 了。 : : (3) x<0：write x=-y, y>0 : : a_n(-y) = E_n(y)-O_n(y) : : 而對於y>0我們本來就有 E_n(y),O_n(y)↗ < b_n(y) 因此又收斂 : : 所以a_n(-y)收斂 : : 以前我都不知道怎麼處理x<0，就是在這次整個定義exp的過程中想到這招 : : 但是好像都沒用到V大你說的那步@@?? 大概是以前我被玩壞了XD 看到 exp 的定義都從算幾不等式開始…… 以下都已經將指數推廣到有理數了。 (正整數→0→整數→有理數，這個過程已經標準到不能更標準了。) a_n(x) = (1+x/n)^n 當 n≧-[x]，拿 n 個 1+x/n 和 1 個 1 去做算幾不等式： ( n*(1+x/n) + 1 )/(n+1) > ( (1+x/n)^n*1 )^(1/(n+1)) 不等式的兩側只有在 x=0 會相等，我就先拿掉等號了。馬上得到 a_(n+1)(x) > a_n(x) for all x, n≧-[x] 所以 a_n(x) 從第 max(1,-[x]) 項開始一定遞增當 n≧-[x]，顯然 a_n(x) < a_n([x]+1) 然後右邊這東西收斂到 e^([x]+1)。計算 e^([x]+1)： a_n([x]+1) = ( 1+([x]+1)/n )^n = ( ( 1+([x]+1)/n )^(n/[x]+1) )^([x]+1) 先只考慮不比 1 小的 x 還有那些是 [x]+1 的倍數的 n，所以 a_n([x]+1) 有一個收斂到 e^([x]+1) 的子數列。但 a_n([x]+1) 遞增，所以 a_n([x]+1) < a_(n[x]+n)([x]+1)，右邊是一個遞增到 e^([x]+1) 的數列，所以左邊的數列有上界，因而收斂。收斂又只能收斂到自己的收斂子數列的極限，也就是 e^([x]+1)。 [x]=0 的話，a_n([x]+1)=a_n(1)→e 是標準的。 [x]=-1 的情形則是一串 1 收斂到 1，顯然沒錯。 [x]<-1 的話，只消知道 (1-1/n)^n→1/e 就可以套用 x 非負的情況。所以 e^([x]+1) 就可以當後面那些 a_n(x) 的上界。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.243.89.49 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1499769882.A.ABE.html ※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 18:47:53 ※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 19:19:29 ※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 19:47:58 ※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 21:16:16

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