[分析] lim(1+x/n)^n建構exp(x)某個步驟

看板Math作者 (QQ)時間8年前 (2017/07/11 15:57), 8年前編輯推噓2(2推 0噓 9→)
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昨天拿起之前建構的過程看一下 突然發現一個bug 想請問一下 Let a_n(x):=(1+x/n)^n already proved to be convergent, say a(x) 如何不用到指對數函數去證明 (a) a(x+y)=a(x)a(y) 或 (b) a(x)>0 for any x€R 或 (c) (1+x/n^2)^n → 1 for any x€R 因為我已經有(a)=>(b)=>(c)=>(a) 只要其中一個對，那其他全部OK了 再次強調一下，指數函數的連續性、取log、指數或是對數的羅畢達、 (1-x/n)^n = 1/(1+x/(n-x))^(n-x) * 1/(1+x/(n-x))^n 以上這些指數有出現非整數的全部都不能用 因為我就是要用a(x)去造指數 ----------以下整個來龍去脈---------------------------------------------- 先附上流程： Let a_n(x):=(1+x/n)^n , x€real numbers Then we can show (1) a_n(x) is convergent, say a(x) (2) a(x+y)=a(x)a(y) (3) a(x) is continuous on R (4) a(x) is differentiable on R with a'(x)=a(x) 接著由以上(1)~(4)與a(x)>0 可以證明a：R→(0,∞) is one-to-one and onto，接著就完成了 我的bug出在a(x)>0是由(2)證的，這樣就可以知道a(-p)=1/a(p)>0 但是 a(x+y)=a(x)a(y)的證明我當時miss掉一件事：他需要a(x)>0.... 因為a(x)a(y)=lim (1+(x+y)/n+xy/n^2)^n a(x+y) =lim (1+(x+y)/n)^n 只要我們能證明 lim (1+c/n+d/n^2)^n = a(c) , for any c,d€R (即d/n^2無貢獻) 那a(x+y)就會等於a(x)a(y) 而為了證明黃色式子，把左除以右相除得到lim (1+d/(n^2+nc))^n 接著考慮c,d正負以及運用夾擠定理，只要我們能證明lim (1+x/n^2)^n = 1 for any x 那黃色就成立，因此a(x+y)就會等於a(x)a(y) 很不幸的，當時綠色我直接trivial過去，但要說明極限是1的過程中 綠色=lim (a_n(x))^(1/n) 要等於1的話，前提lim a_n(x) = a(x) 必須要正的 這就是我為什麼說用a(x+y)=a(x)a(y)去證明a(x)>0是循環論證 (<lemma> if a_n>0 , a_n→p>0 then (a_n)^1/n → 1 ) 因此，我才問開頭的問題，(a)(b)(c)只要有一者獨立被證出，一切就結束了 ---------------------------------------------------------------- 謝謝! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.22.62 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1499759851.A.01C.html
推
07/11 16:05, , 1F
For non-negative x,a_n(x)=(1+x/n)^n≧1 for all n
07/11 16:05, 1F
→
07/11 16:07, , 2F
so we have a(x)≧1>0 for non-negative x。
07/11 16:07, 2F
→
07/11 16:13, , 3F
For negative x，a_n(x)≧(1-[x]/n)^n if n≧|[x]|
07/11 16:13, 3F
→
07/11 16:15, , 4F
更正 a_n(x)≧(1+[x]/n)^n
07/11 16:15, 4F
→
07/11 16:18, , 5F
a_n(x)≧(1+[x]/n)^n = 1/(1+m/(n-m))^n, m=-[x]
07/11 16:18, 5F
→
07/11 16:19, , 6F
(1+m/(n-m))^n= (1+m/(n-m))^(n-m) * (1+m/(n-m))^m
07/11 16:19, 6F
→
07/11 16:20, , 7F
(1+m/(n-m))^(n-m)→a(m)>0, (1+m/(n-m))^m→1^m=1
07/11 16:20, 7F
→
07/11 16:21, , 8F
and hence a(x)>0 for negative x.
07/11 16:21, 8F
→
07/11 16:33, , 9F
soga!! 沒想到這方向 謝謝V大!!
07/11 16:33, 9F
推
07/11 16:58, , 10F
其實我有點好奇，你收歛性怎麼證的XD
07/11 16:58, 10F
→
07/11 16:59, , 11F
通常用遞增且有上界的時候也會用到這個手法。
07/11 16:59, 11F
欸我收斂性沒用到你這個耶(把x用附近的整數去做比較) V大你這個idea應該是：因為還沒有整數之外的次方，所以拿旁邊的整數來比較 而整數的次方已經well-defined了 我證收斂如下： n Let a_n(x)如上，b_n(x) =:Σ x^k/k! k=0 考慮n>=2 n Then a_n(x)=(二項式展開)=1+x+Σ (x^k/k!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n) k=2 :=E_n(x)+O_n(x) , 偶數項+奇數項 for any x€R (會這樣拆是為了x<0的收斂性) 則 (1) x=0：a_n(x) = 1 (2) x>0：a_n(x)↗ < b_n(x), 而b_n(x)收斂 因此a_n遞增有上界於是收斂 (3) x<0：write x=-y, y>0 a_n(-y) = E_n(y)-O_n(y) 而對於y>0我們本來就有 E_n(y),O_n(y)↗ < b_n(y) 因此又收斂 所以a_n(-y)收斂 以前我都不知道怎麼處理x<0，就是在這次整個定義exp的過程中想到這招 但是好像都沒用到V大你說的那步@@?? ※ 編輯: znmkhxrw (111.255.22.62), 07/11/2017 18:02:03
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