Re: [代數] 多項式2
※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 標題: [代數] 多項式2
: 時間: Fri Jun 30 14:00:46 2017
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: 試證明對於每一個整數n, 存在唯一的多項式P,
: 使得其係數在{0,1,2,...,9}之中且滿足P(-2)=P(-5)=n.
:
: 謝謝
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構造順序：
1. 先利用 P(-2)=P(-5)=n 做一個長得很像的冪級數。
2. 說明冪級數項數有限，所以是多項式。
設 P(x) = (x+2)(x+5)Q(x) + n
其中 Q(x) = Σ_{k=0}^{∞} a_k*x^k 是一個冪級數
=> P(x) = (10a_0 + n) + (10a_1 + 7a_0)x + (10a_2 + 7a_1 + a_0)x^2 + ...
=> 10a_0 + n、10a_1 + 7a_0、10a_{k+2} + 7a_{k+1} + a_k 都在 {0,1,2,...,9} 之中
=> a_0 = n 除以 -10 的商 = -[n/10]
a_1 = 7a_0 除以 -10 的商 = -[7a_0/10]
a_{k+2} = -[( 7a_{k+1} + a_k )/10]
i) 可利用數學歸納法證明：
-2 - n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k < a_k < 2.5 - n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k
所以當 k 夠大的時候，a_k 只能是 -2,-1,0,1,2
ii)考慮 a_N 和 a_{N+1} 都在 {-2,-1,0,1,2} 之中的 25 種情況
可以計算得到從 a_{N+5} 開始，a_k 都是 0
i、ii 這兩段苦工的繁雜計算可以由電腦代勞
所以 Q(x) 是多項式，P(x) 亦然，此 P 即為所求之唯一多項式。
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