Re: [分析] 黎曼積分P與δ等價定義

看板Math作者LimSinE (r=e^theta)時間7年前 (2017/05/25 23:46)推噓3(3推 0噓 5→)

留言8則, 1人參與討論串2/3 (看更多)

我的看法是這樣假設P_epsilon之分點為 a=x0<x1<...<xn=b P 之分點為 a=y0<y1<...<ym=b 那為了方便起見，記共同的分割為 a=z0<z1<...<zt=b (每個zi 是某個xi或是某個yj或都是) 那麼P_epsilon之上和P之上和可分別表為 U = Sigma(i=1 至 t) Mi (zi - z(i-1)) (因為zi-zi-1必定完整的落入某個x區間，Mi為該區間之sup) U'= Sigma(i=1 至 t) M'i (zi -z(i-1)) (M'i 則是看y區間) 然後這個提示應該是要改成把這兩個Sigma分成 "S1" ：zi,zi-1都是某個y的i。 "S2" ：除了S1選到的項以外，也就是zi或zi-1當中之一或都不是某個y的i(它們自然來自x) 這時就可以注意到 S1選到的項 Mi>=M'i，故S1>S1'(有'的都是P分割的) 而S2 當中的區間端點是最多出現(n-1)個x，每個端點只能是左邊或右邊 (都是的沒關係)，總之至多2n-2項。所以|S2-S2'| <= |2M|(區間長總和) < |2M|(2n-2) delta (小心一點的話區間長總和可以壓到< (n-1) delta ) 這樣這個證明就可以過去。 ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 這個問題之前覺得idea沒問題就沒仔細寫了 : 今天心血來潮寫寫看發現問題大了QQ : -------------------------------------- : Let f be bounded on [a,b] : <Def1> f€R[a,b]_P : if there exists a real number A : s.t. for all ε>0, there exists a partition P_ε : s.t. │R(f,P)-A│<ε for any P finer than P_ε and t_i€[x_(i-1),x_i] : <Def2> f€R[a,b]_δ : if there exists a real number A : s.t. for all ε>0, there exists δ_ε>0 : s.t. │R(f,P)-A│<ε for any ║P║<δ_ε and t_i€[x_(i-1),x_i] : 很明顯的<Def2> implies <Def1> with the same integral : 我有問題的是Apostol證明"<Def1> implies <Def2>"的過程 : 書上如此寫：http://imgur.com/EvyGzqn

: 我理解沒錯的話，他依據P中分割點{y_i}與P_ε中分割點{x_j}的分布位置， : 把U(f,P) 拆成S_1 與 S_2(詳上圖)，然後S_1用U(f,P_ε)控制，S_2用取的δ_ε控制 : 可是，問題來了，S_1≦U(f,P_ε)這項要成立需要 : "for each j, [x_(j-1),x_j] includes at least one [y_(i-1),y_i]" : 因為f不一定是正的，如果某個[x_(j-1),x_j]沒涵蓋任何[y_(i-1),y_i]，這樣小不過去 : 以圖形來說如果P與P_ε長得像以下的(a)就行得通，但是(b)或是(c)就無法 : (a) : ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ : a y_1 y_2 x_1 y_3 y_4 x_2 .. b : =x_0 =x_n : =y_0 =y_m : (b) : ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ : a y_1 x_1 x_2 y_2 ... b : =x_0 =x_n : =y_0 =y_m : (c) : ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ : a y_1 x_1 y_2 x_2 ... b : =x_0 =x_n : =y_0 =y_m : 而書上設的║P║<δ_ε:=ε/(2MN)，並無法保證(b),(c)不會發生 : 因此，問題即：書上這個證明是對的嗎？若是的話如何解釋我的疑問？ : 謝謝 : ------------------------------------------------------- : P.S. : (1) 其實我對於他S_1的取法也有異議，他寫S_1是那一些沒包到x_j的[y_(i-1),y_i] : 但如果是x_j剛好在邊界點，依照這個敘述是不算在S_1的，因此每個x_j可能同時是 : [y_(i-1),y_i]的右端點與[y_i,y_(i+1)]的左端點，如此一來書上寫的S_2≦NM║P║ : 應該把N改成2N (N是分割點數量) : 不過這問題無傷大雅，所以沒在上面提 : (2) 我自己修正後取δ_ε:= min{ε/(2MN), 【P_ε】/2} 即可解決問題 : 其中【P_ε】:= min{x_i-x_(i-1)│i=1~n}，分割區間的最小值 : 這樣的設定可以讓問題說的(b)與(c)不會發生 : (【P_ε】確保(b)不發生但(c)還是有可能，【P_ε】/2就可以確保兩者不可能發生) : (3) 2017/05/25 PM9:33 : 突然發現...即便是(a)，如果f在[a,x_1]是負的，S_1好像也不會≦U(f,P_ε)... -- 中最連緊閉開值大通緻集集在最到映返返中小連緊閉開間值通緻集集。，。，；， -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.114.61 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1495727179.A.487.html ※ 編輯: LimSinE (219.85.114.61), 05/26/2017 00:06:35

推

znmkhxrw

05/26 00:09, , 1^F

05/26 00:09, 1^F

→

znmkhxrw

05/26 00:09, , 2^F

05/26 00:09, 2^F

一定有 x(j-1)<=z(i-1)<zi<=xj，該區間為[x(j-1),xj] ※ 編輯: LimSinE (219.85.114.61), 05/26/2017 00:11:44

→

znmkhxrw

05/26 00:13, , 3^F