Re: [中學] 估計橢圓周長
※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 定理：已知周長一樣的簡單封閉圖形中，圓的面積最大。
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: 一橢圓長軸半長為 a ，短軸半長為 b，試利用上述定理證明橢圓的周長大於 (a+b)π
以 L 和 A 分別代表封閉圖形的周長和面積，則上述定理可表為：
A ≦ π*(L/2π)^2
即 4πA ≦ L^2
考慮如下封閉圖形：
x^2/P + y^2/Q = 1
其中 P = [ a^2 + b^2 + ( a^2 - b^2 )*sgn(x) ]/2
Q = [ a^2 + b^2 + ( a^2 - b^2 )*sgn(y) ]/2
那這條曲線在第一象限是半徑為 a 的1/4圓弧
在第三象限是半徑為 b 的1/4圓弧
在第二、四象限是1/4橢圓（長軸半長為 a ，短軸半長為 b ）
L = 橢圓周長/2 + πa/2 + πb/2
A = πab/2 + πa^2/4 + πb^2/4
由前述定理，
4π*( πab/2 + πa^2/4 + πb^2/4 ) ≦ ( 橢圓周長/2 + πa/2 + πb/2 )^2
整理得
橢圓周長 ≧ π(a+b)
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