Re: [中學] 三角函數tan的一個問題
※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
: 請問如何證明
: tan(pi/n)這個值在n大於等於5的正整數時
: 為無理數??
tan(π/1)=0;
n>2 時, tan(π/n) 皆有意義;
tan(π/3) = √3 為無理數;
n>4 時, 0 < tan(π/n) < 1;
tan(π/8) = √2-1 為無理數.
1. 用歸納法以及和角公式證明:
n
tan( Σ θ_j )
j=1
Σ (-1)^t (任取 2t+1 個 tanθ_j 的乘積之和)
0≦t≦(n-1)/2
= ----------------------------------------------------------------
Σ (-1)^t (任取 2t 個 tanθ_j 的乘積之和)
0≦t≦n/2
(也可以用棣美弗套在 1 + i tan θ_j 的乘積上面得到此式,
嚴格證明同樣需要歸納法. )
2. 令 θ_j = θ, for all j
得知分子是個 tanθ 的多項式, 首項係數為 ±n (n為偶數時) 或 ±1 (n為奇數時)
末項則為 n tanθ.
3. tan( n (π/n) )=0, 故 tan(π/n) 必為上述多項式的根;
且可以排除 tan(π/n)=0 的解 (n=1).
4. 當 n 為奇數時, 由牛頓定理知道 tan(π/n) 若為有理數，必須是整數.
所以 n 為大於 1 的奇數時, tan(π/n) 必不為有理數.
5. 接著處理 n 是偶數的情形.
注意若 tan(π/n) 為有理數，由兩倍角公式知道
tan( π/(n/2) ) 也是有理數 (或無意義)
6. 但奇數裡只有 n=1 滿足 tan(π/n) 為有理數,
由歸納法知道只有當 n 是 2 的冪次時需要檢查.
n=2 時 tan(π/n) 無意義, n=4 時 tan(π/n) 為有理數,
n=8 時 tan(π/n) 為無理數.
再次由 5. 和歸納法, 得知 n=2^k, k>2 時, tan(π/n) 皆為無理數.
所以使得 tan(π/n) 為有理數的正整數 n 就只有 1 和 4.
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※ 編輯: arthurduh1 (140.109.104.232), 03/24/2017 21:51:15
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