Re: [線代] 一題矩陣
※ 引述《h853491616 (123)》之銘言：
: http://imgur.com/a/QchL7
: 請問這題的(b)小題怎麼求解
: 我已經求出特徵值為1,2,2
: 但是因為它有重根，所以不能代Sylvester公式法
: 而且也不能對角化，所以同步對角化法也行不通
: 謝謝。
這個有一套SOP 對於方陣A 假設A的特徵多項式都是實根
(有複數根的話比較麻煩 通常只考2x2矩陣 因為找實解的話會牽扯到cos,sin)
(1) A可對角化：P^-1*A*P = D
e^A = P*e^D*P^-1 , where e^D is easy to see
(2) A不可對角化：先化成Jordan canonical form ,J
再把J中的同個eigen value λ_i , 看成同一塊J_i
再把J_i寫成λ_i*I + N_i , where N_i is nilpotent matrix
e^J = 各自區塊的e^J_i ，其中 e^J_i = e^λ_i * e^N_i
直接用你題目做一次
1 0 0
Jordan form你自己做 得到 P^-1*A*P = J = 0 2 1
0 0 2
其中，1自己形成1x1的矩陣 J_1
2 1 形成 2x2矩陣 J_2
0 2
J_1 0 0
也就是說 J = 0
0 J_2
e^J_1 0 0
再來 e^J = 0
0 e^J_2
以這題來說 e^J_1 = e
0 1
e^J_2 = e^2 * e^N , where N = 0 0 , with N^2 = 0, hence e^N = I + N
最後不要忘了把答案還原回去 = e^A = P*e^J*P^-1
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總之 (1) 做Jordan form J = P^-1*A*P
(2) 對每個Jordan bracket J_i做 e^J_i
計算方法就是把J_i寫成 λ_i*I + N_i
然後e^J_i= e^λ_i * e^N_i
(注意N_i是nilpotent matrix, 即N_i^p = 0 some p€N
所以e^N_i = I + N + N^2/2! +... + N^(p-1)/(p-1)! )
(3) e^J = 每個Jordan bracket變成剛剛算完的e^J_i
(4) e^A = P*e^J*P^-1
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