Re: [中學] 雄中科學班試題

看板Math作者 (人間失格)時間8年前 (2017/03/09 15:09), 編輯推噓3(3推 0噓 38→)
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※ 引述《starlkj (比比♡杰)》之銘言： : 105學年度的其中一題， : p為質數，且p^4的全部正因數總和為一個完全平方數，求質數p =? : --------------------------------------------------------------- : p^4正因數為 1,p,p^2,p^3,p^4 : 總和為 1+p+p^2+p^3+p^4 =1+p(1+p)+p^3(1+p) : =1+(1+p)(p+p^3) : =1+p(1+p)(1+p^2) : 設此完全平方數為k^2(k為正整數) : 則 1+p(1+p)(1+p^2)=k^2 : => p(1+p)(1+p^2)=k^2-1 : => p(p+1)(p^2+1)=(k+1)(k-1) : => (p^2+p)(p^2+1)=(k+1)(k-1) : 接下來這樣做可以找到一組答案 : => (p^2+p)-(p^2+1)=(k+1)-(k-1) : => p-1=2 : => p=3 : 目前想到這方法可算出一組答案，但是不知道後半段那邊是否正確， 在p不等於2的情況下，p^2+1是偶數，亦可分解，不能確定所有答案 : 正確的話該怎麼解釋？答案是唯一的嘛？ (p^2+(p/2))^2 < 1+p+p^2+p^3+p^4 < (p^2+(p/2)+1)^2 故 1+p+p^2+p^3+p^4 = (p^2+(p/2)+(1/2))^2 = (1/4)+(p/2)+(5p^2/4)+p^3+p^4 -> (p^2/4)-(p/2)-(3/4) = (p^2-2p-3)/4 = 0 -> p=3 v -1(不合) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.236.106.85 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1489043393.A.01E.html
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03/09 15:36, , 1F
請問第一個不等式怎麼得到的?
03/09 15:36, 1F
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03/09 23:06, , 2F
故...也不知道怎麼推導的 可以講詳細一點嗎?
03/09 23:06, 2F
推
03/09 23:27, , 3F
「故」那一行是當 p 是奇數時, 在所夾的範圍內
03/09 23:27, 3F
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03/09 23:27, , 4F
那個平方數只能是 (p^2+(p+1)/2) 的平方
03/09 23:27, 4F
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03/09 23:29, , 5F
至於問那個夾起來的不等式怎麼找的話
03/09 23:29, 5F
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03/09 23:29, , 6F
左邊基本上是高次項配方, 配完剩下的顯然為正
03/09 23:29, 6F
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03/09 23:29, , 7F
然後右邊就是往上加 1 而已
03/09 23:29, 7F
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03/09 23:30, , 8F
當然也需要檢查確實 +1 之後會跨過去
03/09 23:30, 8F
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03/10 01:03, , 9F
請問LPH66大 配方式(p^4+p^2+1/4)+...?不知怎麼配
03/10 01:03, 9F
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03/10 01:07, , 10F
怎麼配成像(p^2+(p/2))^2這樣的式子
03/10 01:07, 10F
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03/10 07:59, , 11F
高次項所以是從 p^4+p^3 出發, 因此平方前的兩項
03/10 07:59, 11F
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03/10 08:00, , 12F
是 p^2 跟 p/2 然後就看到需要 p^2/4 才能配成方
03/10 08:00, 12F
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03/10 08:00, , 13F
原式因此剩下 (3/4)p^2+p+1 為正
03/10 08:00, 13F
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03/10 08:01, , 14F
換個角度看, (p^2+(p/2))^2 = [p(p+1/2)]^2
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03/10 08:01, , 15F
= p^2 * (p+1/2)^2 = p^2 * (p^2+p+1/4)
03/10 08:01, 15F
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03/10 08:01, , 16F
後面這個型式可能就比較熟悉了
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03/10 09:06, , 17F
超感謝LPH66大大詳細的解釋,我看一下
03/10 09:06, 17F
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03/10 09:11, , 18F
看懂囉 謝謝LPH66大
03/10 09:11, 18F
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03/10 09:27, , 19F
可是原式=(p^2+p/2)^2+(3/4)p^2+p+1怎麼確認剛好就
03/10 09:27, 19F
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03/10 09:28, , 20F
小於它的最大完全平方數就剛好是(P^2+P/2)^2,以及大
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03/10 09:28, , 21F
於它的最小完全平方數剛好就是(P^2+P/2+1)^2
03/10 09:28, 21F
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03/10 09:32, , 22F
原式=(P^2+P/2)^2+(3/4)(P+2/3)^2+2/3,怎麼知道它和
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03/10 09:32, , 23F
(P^2+P/2)^2之間再無完全平方數?同理怎麼知道上限和
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03/10 09:33, , 24F
它之間再無其他完全平方數?
03/10 09:33, 24F
推
03/11 02:45, , 25F
呃, 這篇的做法跟下一篇的稍微不一樣喔
03/11 02:45, 25F
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03/11 02:46, , 26F
這邊在這條式子出來出來之後, 在 p 是奇數時
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03/11 02:46, , 27F
兩邊都是一個 x.5 的平方, 而這裡面的兩個數差一
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03/11 02:47, , 28F
(例如在 p=3 時會推出 10.5^2 < 中間 < 11.5^2 )
03/11 02:47, 28F
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03/11 02:47, , 29F
因此中間若有平方數就一定在"正中間"
03/11 02:47, 29F
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03/11 02:47, , 30F
所以就會推出它該是 (p^2+(p/2)+(1/2))^2
03/11 02:47, 30F
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03/11 02:48, , 31F
但下一篇的不等式是夾在兩個連續整數之間
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03/11 02:48, , 32F
(同樣是 p 奇數的狀況) 因此只會是有取等號的那一邊
03/11 02:48, 32F
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03/11 23:00, , 33F
再請問一下LPH66大，要怎麼知道+p/2是小於答案的最
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03/11 23:01, , 34F
大的X.5^2?
03/11 23:01, 34F
推
03/12 02:57, , 35F
那就是上面提的「平方裡面 +1 之後跨過去了」
03/12 02:57, 35F
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03/12 02:58, , 36F
其實概念跟下一篇本質上差不多
03/12 02:58, 36F
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03/12 02:59, , 37F
都是夾在差一的兩數的平方之間來夾出所要的整數
03/12 02:59, 37F
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03/12 03:01, , 38F
上面的配方只是其中一種找平方的方法
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03/12 03:02, , 39F
只是用這樣配方能夠方便確定所找到的是所要的
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03/12 03:05, , 40F
而如果在配方時多抓一個常數進來 (例如多/少個 1/2)
03/12 03:05, 40F
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03/12 03:05, , 41F
那得到的不等式就會是下一篇的那一個
03/12 03:05, 41F
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文章代碼(AID): #1OmF_10U (Math)
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