[中學] 雄中科學班試題
105學年度的其中一題，
p為質數，且p^4的全部正因數總和為一個完全平方數，求質數p =?
---------------------------------------------------------------
p^4正因數為 1,p,p^2,p^3,p^4
總和為 1+p+p^2+p^3+p^4 =1+p(1+p)+p^3(1+p)
=1+(1+p)(p+p^3)
=1+p(1+p)(1+p^2)
設此完全平方數為k^2(k為正整數)
則 1+p(1+p)(1+p^2)=k^2
=> p(1+p)(1+p^2)=k^2-1
=> p(p+1)(p^2+1)=(k+1)(k-1)
=> (p^2+p)(p^2+1)=(k+1)(k-1)
接下來這樣做可以找到一組答案
=> (p^2+p)-(p^2+1)=(k+1)-(k-1)
=> p-1=2
=> p=3
目前想到這方法可算出一組答案，但是不知道後半段那邊是否正確，
正確的話該怎麼解釋？答案是唯一的嘛？
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.32.137.9
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1489041430.A.2C3.html
討論串 (同標題文章)