Re: [微積] 分式積分
: 請問各位大大第六題的解法？
: 小弟我用分式積分法做，做到分母是二次式的平方時卡住了。
: （手機排版請見諒。）
細節有點麻煩.....
早知道就不要隨便答應j0958322080 >_<
x^3 + 1
----------------
x(x^2 + x + 1)^2
1 2
= ----------------- + --------------
x (x^2 + x + 1) x(x^2 + x + 1)^2
1 -x -2 (x + 1)
= ------- + ------------- + ----------------
x x^2 + x + 1 (x^2 + x + 1)^2
(I) (II) (III)
∫(I) dx = ln|x|
(x + 1/2)dx dx
∫(II) dx = -∫ ------------------ + (1/2)∫------------------
(x + 1/2)^2 + 3/4 (x + 1/2)^2 + 3/4
= -(1/2)ln|x^2 + x + 1| + (1/3)(√3)arctan((2x + 1)/√3))
(2x + 1)dx dx
∫(III) dx = - ∫ ----------------- - ∫---------------
(x^2 + x + 1)^2 (x^2 + x + 1)^2
1
= ----------------- - (4/9)√3 arctan((2x + 1)/√3)
(x^2 + x + 1)
2x + 1
+ (1/3) --------------------- 見上一篇的積分
x^2 + x + 1
所以
x^3 + 1
∫------------------dx
x(x^2 + x + 1)^2
= ln|x| - (1/2)ln|x^2 + x + 1| - (1/9)(√3)arctan((2x + 1)/√3))
1 2x + 1
+ ------------- + (1/3)------------
(x^2 + x + 1) x^2 + x + 1
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