Re: [中學] 升高中考題

看板Math作者Desperato (Farewell)時間9年前 (2016/10/10 16:12)推噓4(4推 0噓 10→)

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※ 引述《farewell324 ()》之銘言： : 幾題國中競賽題、升高中考題百思不得其解想求解太多囉下次可以分幾天一兩題丟一次 : 1.解方程式:x^3+(2根號3)x^2+3x+(根號3)+1=0 : (94年雲嘉區數學競賽第二試) x (x + √3))^2 + √3 + 1 = 0 這邊我是用猜的... x = -1 - √3 看來是一解分解成 (x + 1 + √3) (x^2 + (√3-1)x + 1) = 0 所以答案是 x = -1-√3 or (1/2) (1-√3 +- (12)^(1/4) i ) 後面兩個是虛根看題目有沒有要求要實根 : 2.n是整數，將n^5+25n^2-n+25分解成兩質數的乘積，兩質數可以相同或相異， : 　共有哪幾種可能？ : 　(94年雲嘉區數學競賽第二試) f(n) = n(n^4-1) + 25(n^2+1) = (n^2 + 1) (n^3 - n + 25) (a) n^2 + 1 = 1 n = 0, f(n) = 5 * 5 (b) n^3 - n + 25 = 1 (-1無整數解) n = -3, f(n) = 2 * 5 (c) n^2 + 1 = p p 質數 (n-1)n(n+1) + 25 = q, q 質數注意到 n = 5k, 5k+1, 5k-1 時 n^3 - n + 25 是 5的倍數 n = 5k+2, 5k-2 時 n^2 + 1 是 5的倍數因此 n^2 + 1 = 5 或 (n-1)n(n+1) + 25 = +- 5 前者 n = +-2, f(2) = 5 * 31, f(-2) = 5 * 19 後者似乎是無解所以一共有 f(0) = 5 * 5 , f(-3) = 2 * 5 f(2) = 5 * 31, f(-2) = 5 * 19 四種可能。感謝k大指正。 : 3.若f(x)=3x^3-2x^2+x+1、g(x)=2x^3+4x^2+2x-6，請問有多少個相異實數α，使得 : 　f(α)=3、g(α)=2 : (103年南一中數理資優班) (x-α) 是 f(x)-3 與 g(x)-2 的公因式這兩式只有一個公因式 x - 1, 所以 α=1 是唯一可能 : 4.設f(x)為實係數二次多項式，若f(x)=0有一根為2且f(f(x))=0恰有一實根為4，求f(0) : (103年南一中數理資優班) f(x) 有實根 2, k y = f(x), y是頂點則 x 一實根解, 其他y要不是x兩實根解就是x無解因此 f(y) = 0 若只有一實根解x, y必定是頂點值也就是說 x = 4 時 y 是頂點，根據對稱另一根 k = 6 由於 f(y) = 0, 得到頂點值 y = 2 or 6, 都是正數, 因此 f(x) 開口朝下因為只有一實根，所以兩個 y = f(x) 中有一個要無解，因此 y 只能是 2 則 f(x) = (-1/2)(x-2)(x-6), f(0) = -6 : 5.用紅黃藍三種顏色的顏料塗一正立方體的12個稜邊，而且共頂點的任兩稜邊不同色， : 　則可圖出___種不同樣式的正方形。(旋轉或翻轉後有相同上色結果視為同一種) : (103年斗六高中數理資優班) 每個頂點都會接到正好一條紅色的邊，每個邊都會接到兩個頂點因此紅色的邊共有 8 / 2 = 4 條，另外兩個顏色也是現在假設有一條邊是紅色，扣掉4條和它相接的邊後，會剩下7條邊攤平之後會長的剛好像行人紅綠燈的7段顯示器這7條線要塞三條同色邊進去一共有兩種情況也就是說，所有同色邊要就全部平行(4)，要就兩組平行線互相垂直(2)(2) 正立方體中共有三組平行線(4)(4)(4) a. 紅(4)黃(4)藍(4) 只有1種情況 b. 紅(2)(2) 考慮其中一對(2)，讓黃填入另一對平行的(2) 會發現黃色沒辦法填入剩下的(4)，只能補上另一個剩的(2) 因此有黃(2)(2)，藍(4) 固定藍(4)檢查會發現只有1種情況考慮顏色互換 x3 所以一共有4種情況。感謝V大指正。 : 6. AB是半圓O的直徑，AC、AD都是弦，角CAD＝角DAB，要證明AC+AB<2AD : (101年南一中科學班) : 不好意思以上幾題要請教大家，謝謝！如果用三角函數的話，設角CAD = x AC + AB = 2R(1 + cos2x) = 2R(2(cosx)^2) < 2R(2 cosx) = 2AD 根據這條式子，不等式的本質是 cosx < 1 就有了以下看起來沒有三角函數的做法作CB與AD交於E，作DB，作AD往外延伸和B點的切線交於F 則角CAD = 角DAB = 角EBD = 角DBF = x 角ACD = 角ADB = 90度可得到 EDB 和 FDB 是全等三角形，ED = DF 因此 AC + AB < AE + AF (直角三角形鄰邊 < 斜邊) = 2 AD (ED = DF) -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.105 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1476087166.A.304.html

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