Re: [機統] 悖論 無限大的桶子 跟 無限多顆球

看板Math作者 (會喵喵叫的大叔)時間9年前 (2016/09/26 10:23), 9年前編輯推噓5(5推 0噓 44→)
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※ 引述《AppleOuO (AppleOuO)》之銘言： : 假設有一個無限大的桶子跟無限多的球 並且取放球所需時間為0 : 時間從早上11點到12點 每剩1/2時間 就依序放有編號的球並取回最前面編號的球 : 例如11點半為第一次放10顆球(有編號到1到10) 並且把第一顆球給取走 : 那在12點時 我說桶子裡沒有球 : 因為球都被取走了 : 例如：編號五的球，它第五次就被取走了。 最後桶子裡有幾顆球？ 1. 我管你編號的，反正你每次都放十顆拿一顆，一共增加九顆。 　 所以最後有無限多顆球。 n lim Σ (10 - 1) = 球數 n -> inf i = 1 2. 給定任意 N ，第 N 顆球有沒有被放進去？有。 那後來有沒有被拿出來？也有。 既然每顆都被拿出來了，裡面當然沒有球。 球數 = （總共放進去幾顆） - （總共拿出來幾顆） n = lim Σ 10 n -> inf i = 1 m - lim Σ 1 m -> inf i = 1 10n = lim Σ 1 每一步從「一次放十顆」 n -> inf i = 1 變成「一次一顆放十次」 m - lim Σ 1 m -> inf i = 1 m = lim Σ 1 把dummy改一改 m -> inf i = 1 m - lim Σ 1 m -> inf i = 1 上微積分的時候老師有沒有教過，無窮級數的各項不可以亂拆亂調？有沒有？ 數學上這題沒啥悖論，因為這兩種算法直接被定義成不相等， 所以在允許任意調動級數各項的前提下這題沒有唯一解。 看似悖論的地方在於你把不一樣的東西硬說成一樣了。 事實上，想要湊出「剩下π顆球」這種見鬼答案大概也有辦法。請板友支援。 實用上，假如我說我不管反正我就是要一個答案啦，那等於我必須從原題的敘 述裡額外決定應該採取哪一種加法。通常的選擇都是100%尊重過程，總之是把 要算的東西先在有限項的時候算完，極限留到最後。 例如問桶裡的球數，那就是先算第 n 步有 9n 顆，然後再取 n --> 無限大。 -- 你喜歡下列哪一個學妹？ 1. 雖然吉他彈得比學姊好，在樂團裡卻甘願只當個副手 2. 擁有夏天一到必然黑化的體質，連同學好友都認不出來 3. 雖然嘴巴很嚴厲，但只要用甜點就可以收買，尤其喜歡鯛魚燒 4. 討厭學姊給她取的奇怪綽號，卻給小貓取了同一個名字 5. 極力維持自己嚴肅的形象，但是一戴上貓耳就會不自覺喵喵叫 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.103.227 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1474856594.A.F4B.html
推
09/26 11:10, , 1F
我喜歡剩下 π 顆球這個 XDD
09/26 11:10, 1F
→
09/26 11:39, , 2F
雖然我說要先定義好，可是我覺得你的通常不太通常
09/26 11:39, 2F
不精確的說，我只是要求一個「連續」函數而已。 連續應該是很常見的附加條件吧？
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09/26 12:18, , 3F
2.的算法不是那樣吧
09/26 12:18, 3F
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09/26 12:18, , 4F
那樣根本算不出來
09/26 12:18, 4F
好吧我承認那邊是很嚴重的abuse of notation。 我的 2 想表達的是他把兩個都當成一樣大的無限大相減於是等於零。 ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 13:50:49 2 改掉了，現在應該好點了吧。 ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 13:56:20 ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 13:56:46 ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 13:57:24 ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 14:02:52
推
09/26 14:14, , 5F
通常的算出0的解釋請看 Tass 那篇
09/26 14:14, 5F
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09/26 14:15, , 6F
那裡的 0 是合法的數學運算
09/26 14:15, 6F
那個算法的「合法性」來自把有疑慮的搬弄步驟偷偷藏在敘述裡。 我如果沒有把球編號，只跟你說每一步走完裡面都多出九顆球， 難道你會自動寫上編號把九變成十減一，然後跟我說最後一顆球都沒有？ 如果你以為球沒有編號，傻傻的做完無限次，然後我才告訴你其實 我有偷偷把球編號，箱子裡的球難道就瞬間消失？ 沒錯，所有*寫出來的式子*都合法。 而我只是想把兜不攏的的地方攤在陽光下而已。 ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 17:46:38 我甚至可以這麼設定題目： 我每一步都往箱子裡放九顆球。只進不出。 每顆球上面有編號。 放完球以後，我找到編號最小的球，把上面的號碼擦掉， 改寫成最大的編號再加一。 最後箱子裡有幾顆球？ ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 17:58:05 ※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 09/26/2016 17:59:23
推
09/26 18:12, , 7F
這不跟我回的那個很像?
09/26 18:12, 7F
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09/26 18:13, , 8F
你有注意到我們說這是定義問題的時候，都會提出
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09/26 18:13, , 9F
「兩個」合法的算法嘛？
09/26 18:13, 9F
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09/26 18:14, , 10F
但你這篇只提到一個
09/26 18:14, 10F
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09/26 18:16, , 11F
你的2.是在說亂調項會「不合法」啊
09/26 18:16, 11F
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09/26 18:16, , 12F
也就是通整篇你只算出一個 = 無限大的
09/26 18:16, 12F
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09/26 18:24, , 13F
當然你可以拿這個來解釋亂調項的悖論
09/26 18:24, 13F
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09/26 18:25, , 14F
但是原PO問的=0的算法，你就都沒有提及了
09/26 18:25, 14F
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09/26 18:30, , 15F
=0的算法的確可以用亂調項解釋
09/26 18:30, 15F
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09/26 18:31, , 16F
不行哪，我還是想不出怎麼把你的方法跟原本那篇連結
09/26 18:31, 16F
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09/26 18:32, , 17F
也許你要說 (+1-1)+(+1-1)+... 這樣吧
09/26 18:32, 17F
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09/26 18:32, , 18F
如果你這樣說我就接受了
09/26 18:32, 18F
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09/26 22:55, , 19F
改了dummy還是不能減 無限不能減無限
09/26 22:55, 19F
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09/26 22:57, , 20F
寫sum的時候就自動括號了
09/26 22:57, 20F
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09/26 22:58, , 21F
所以還是沒有算出第二個"合法"的解
09/26 22:58, 21F
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09/26 23:00, , 22F
無限可以比較基數相同 這不代表相減就是0
09/26 23:00, 22F
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09/26 23:03, , 23F
另外 要調項要有合理的動作解釋
09/26 23:03, 23F
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09/26 23:03, , 24F
這題有辦法解釋出最後剩1顆球的情況嗎
09/26 23:03, 24F
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09/26 23:27, , 25F
我覺得 (1-1)+(1-1)+... 那個應該就是他要的
09/26 23:27, 25F
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09/26 23:28, , 26F
對每顆球各做一個括號先算的意思
09/26 23:28, 26F
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09/26 23:30, , 27F
1可以啊，就透過編號轉換讓桶子裡一直有編號1的球
09/26 23:30, 27F
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09/26 23:31, , 28F
pi的話應該就要機率的介入了
09/26 23:31, 28F
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09/26 23:33, , 29F
但有編號轉換就變不自然了。其實原本問題我是支持
09/26 23:33, 29F
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09/26 23:33, , 30F
算出來是0那個 模型的極限 的算法
09/26 23:33, 30F
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09/26 23:35, , 31F
只是覺得這種該如何轉換的問題，不該拿來唬人就是
09/26 23:35, 31F
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09/26 23:35, , 32F
好好地把最簡便自然的定義介紹出來即可
09/26 23:35, 32F
推
09/26 23:37, , 33F
π應該是加不出來的，想收斂到任意數必須要是條件
09/26 23:37, 33F
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09/26 23:40, , 34F
收斂。除非考慮更高階的Cesaro sum才比較有可能。
09/26 23:40, 34F
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09/26 23:41, , 35F
(或其他較寬鬆的數列極限)
09/26 23:41, 35F
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09/27 00:07, , 36F
我覺得原題根本不允許任意的編號轉換吧
09/27 00:07, 36F
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09/27 00:07, , 37F
或者說 轉了也沒用 該被拿的還是會被拿走
09/27 00:07, 37F
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09/27 00:11, , 38F
就看你要算球還是算編號，結果發現算球和算編號的
09/27 00:11, 38F
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09/27 00:12, , 39F
結果會不一樣。 對於這種算XXX的句型，都算是有
09/27 00:12, 39F
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09/27 00:12, , 40F
大家約定俗成的、轉換成數學式的方法了吧
09/27 00:12, 40F
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09/27 00:13, , 41F
原題的球有綁定時序問題吧 我覺得連編號都綁定了
09/27 00:13, 41F
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09/27 00:15, , 42F
我還是無法理解 會算出最後有1顆球的情況
09/27 00:15, 42F
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09/27 00:20, , 43F
其實用約定俗成的算法，不是一顆球，是一個編號啦
09/27 00:20, 43F
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09/27 00:20, , 44F
一顆球的話就不是換編號，是直接換球
09/27 00:20, 44F
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09/27 00:21, , 45F
就是每次做完操作，就把編號為1的球換進去
09/27 00:21, 45F
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09/27 00:22, , 46F
我想你是已經接受了約定俗成，所以覺得就是沒球吧
09/27 00:22, 46F
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09/27 00:23, , 47F
(在原本的操作法裡面)
09/27 00:23, 47F
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09/27 00:24, , 48F
原題的操作法不允許更動+約定俗成->唯一解，沒有球
09/27 00:24, 48F
推
09/29 11:25, , 49F
對喔..需要條件收斂不然無法微調數值
09/29 11:25, 49F
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