Re: [中學] 銳角三角形 垂心 AH=2RcosA
※ 引述《oldblackwang (老王)》之銘言：
: ※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: : 想請問AH=2RcosA怎麼證明???
: 假設 BE 是 AC 邊的高，那麼
: AE = AH cos(EAH) = AH sinC
: AE = AB cosA
: 所以 AH =(AB/sinC) cosA = 2R cosA
: : 這只有銳角三角形對嗎?
: 如果 A 是鈍角，那麼 cosA 是負值，當然不對；
: 此時可以看成銳角情況中把 A 和 H 互換所得結果，
: 所以把 cosA 改成 cos(π-A) = -cosA 就好，
: 或者是加上絕對值就可以描述所有情形。
: : 若令 AH=x
: : BH=y
: : CH=z
: : AB=c AC=b BC=a
: : 怎麼證明 a/x + b/y + c/z = (abc)/(xyz)
: 同乘上 xyz 得到 ayz + bxz + cxy = abc
: 對於三角形 BCH 而言，它的外接圓直徑是 BC/sin(BHC)
: 但是 角BHC + 角A = π
: 所以 BC/sin(BHC) = BC/sinA = 三角形ABC的外接圓直徑
: 同理 三角形 ACH 和 ABH 也是，
: 即這四個三角形外接圓半徑皆相等，令為 R
: 由面積關係 (BCH) + (ACH) + (ABH) = (ABC)
: (ayz/4R) + (bxz/4R) + (cxy/4R) = (abc/4R)
: 同乘以 4R 得到結論
假設D,E,F為
BC,CA,AB之三垂足
亦可寫成
(a/2)HD + (b/2)HE + (c/2)HF = [(R^2)/2](sin2A+sin2B+sin2C)
a*HD + b*HE* + c*HF = (4R^2)sinAsinBsinC
a(2R*HD)+b(2R*HE)+c(2R*HF)=abc...然後代入HD=ycosC,HE=zcosA,HF=xcosB
ayz + bzx + cxy = abc
a/x + b/y + c/z = (abc)/(xyz) ... 最後兩邊同除xyz得證
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