Re: [中學] 三角函數
※ 引述《oxs77 (安)》之銘言：
: 標題: [中學] 三角函數
: 時間: Thu Aug 11 11:17:14 2016
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: 四邊形ABCD中，
: AB=2√2，BC=4，CD=3，角B=45度，
: P點落於AB線段上，Q點落於CD線段上，
: 且PO線段平分四邊形ABCD面積，
: 求PQ線段最大值?
:
: 我有算出ABC是等腰直角三角形
: 然後就卡住了.
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: 推 LPH66 : 似乎條件不足, 有其他關於 D 的邊角關係嗎? 08/11 12:03
: 推 FAlin : 幫補條件「角C=90度」 這題是模考 08/11 12:56
有角C是90度之後會很好算，原題應該有這個條件
以下是不考慮角C是90度的(噁心的)情況
有些(看圖很明顯但寫證明有點煩躁的)過程會省略細節
設角ACD = t，考慮CD會以C為中心旋轉
實際上我是設 C(0, 0), A(2√2, 0), B(2√2, -2√2), D(3cos(t), 3sin(t))
因為至少要形成四邊形，0度 < t < 180度，分成兩個情況：
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(1) 0度 < t < 90度 | (2) 90度 < t < 180度
CD直線 在A外 交AB直線 於E點 | AB直線 在C外 交CD直線 於F點
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這邊使用一個引理來簡化
(lemma) 從O點作兩條射線，A, A'在一條射線上，B, B'在另一條上
若面積 OAB = OA'B'，則 |OA-OB| < |OA'-OB'| <=> AB < A'B'
(pf) 算面積得 OA * OB = OA' * OB'
用餘弦算AB^2 = (OA-OB)^2 + 2 OA*OB(1-cos角OAB)，後面這項是定值
根據引理，P可以往B，Q往D方向拉，直到某一點先撞到底為止
這時比較BD切開的ABD和BCD面積，可以知道先撞到B還是D點
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(1) ABD < ABC < BCD | (2) t變大時，ABD會增加，BCD會減少
因此P先撞到B | 會有一個 t = t0，兩塊面積一樣
平分線PQ通過B點 | t < t0，P先撞到B，PQ過B點
| t > t0，Q先撞到D，PQ過D點
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t0 是 3√2 (sin(t) + 2cos(t)) = 4 的解
可以解出 cos(t0) = 1/15 (4√2 - √37), t0 大約是 91.63 度
為了方便計算，重新用 t0 把 t 分成兩塊
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(B) 0度 < t < t0 | (D) t0 < t < 180度
PQ最大值為 P = B 時 | PQ最大值為 Q = D 時
ABCD = 4 + 3√2 sin(t) | ABCD = 4 + 3√2 sin(t)
令 CQ = r | 令 AP = s
則 BCQ = 2r sin(t+45度) | 則 DAP = (1/2) s (2√2-3cos(t))
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(1/2)ABCD = BCQ | (1/2)ABCD = DAP
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√2 + (3/2) sin(t) | 4 + 3√2 sin(t)
r = ------------------- | s = -----------------
cos(t) + sin(t) | 2√2 - 3 cos(t)
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3 √2-(3/2)cos(t) |
= --- + ----------------- |
2 cos(t) + sin(t) |
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r 在 45度到t0 是遞增的 | s 在 整個(D)範圍 是遞減的
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PQ^2 | PQ^2
= 16 + r^2 - 8r cos(t+45度) | = (s+3sin(t))^2 + (2√2-3cos(t))^2
| = s^2 + 6s sin(t) - 12√2 cos(t) + 17
| = ......
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| 不會化簡，拿去畫圖就對了啦(欸
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因此PQ在 45度到t0 是遞增的 | PQ在 t0到135度 是遞減的
|
以上就證明了 PQ 在 t = t0 的時候，有區域最大值
這個時候 PQ^2 = 16 + 3^2 - 12√2 (cos(t)-sin(t))
PQ = ( 12 + √74 ) / √10 = 6.515...
(i) 0 < t < 45度
t = 45時，DCB是直角三角形，外接圓直徑5
此時情況(i)完全落在這個圓中
因此 PQ < 5
(ii) 135度 < t < 180度
t = 135時，D, C, B共線，P剛好是AB中點，因此 PC = √10
以C為圓心作半徑√10的圓，可知情況(ii)的 DP = PQ 會落在這個圓中
因此 PQ < 2√10 < 6.33
t過大的時候，有一些 DP 會切到外面去(因為凹四邊形)
但根據引理，那些合法的 PQ 只會更小，所以沒問題
總之，在cos(角ACD) = 1/15 (4√2 - √37) 的時候 (角ACD約為91.63度)
PQ有最大值 ( 12 + √74 ) / √10 = 6.515...
且此時P在B上，Q在D上
...好累qw q
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嗯嗯ow o
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