[中學] 期望值問題

看板Math作者lookoverhere (need not to know)時間9年前 (2016/06/09 22:18)推噓2(2推 0噓 6→)

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題目如下：有一個"寒"國偶像天團共有10個團員，某唱片公司為發行單曲，舉辦促銷活動。他們將每位團員的相片隨機放入單曲之中，若能蒐集到每位團員的照片，即贈送一張演唱會門票。則平均要購買幾張單曲才能獲贈門票？(答案取至最接近整數) 我是從朋友那邊聽來這個問題，也不知道答案為何。我的想法是這樣的：設n個相異物品取後放回，n個皆取過所需次數的期望值為E(n)，顯然E(1)=1。考慮n個相異物的狀況，先隨機取1物，則剩下未取過的物品有n-1個，由於取出的可能性有n個，但我們只需要再取到剩餘的n-1個，所以接下來有些取物的次數是沒有貢獻的。考慮數量上的關係，n個相異物中將剩餘的n-1個取到其中一種的期望值應為 n n ——×E(n-1)，故E(n)＝1+——×E(n-1) n-1 n-1 E(n) E(n-1) 1 整理式子得 —— － ——— ＝ —— n n-1 n 1 1 1 1 可推得E(n)＝n(—+—+—+…+—) 1 2 3 n 以這樣的想法跟結果，回頭去算這道題目，覺得數字未免太不漂亮。想請教是不是我的想法有誤呢？或者是有更巧妙的想法可以處理這個問題？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.163.54.221 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1465481911.A.139.html ※ 編輯: lookoverhere (1.163.54.221), 06/09/2016 22:19:12 ※ 編輯: lookoverhere (1.163.54.221), 06/09/2016 22:19:50

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Ifault

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Ifault

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LPH66

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