Re: [分析] 複數冪級數z→infinity
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問一下如何不用複變的定理去證明以下這件事情：
: ∞
: Let f(z) = Σ a_n*z^n , for all z€Complex plane
: n=0
: if lim f(z) = L
: z→∞
: then a_0 = L and a_n = 0 for all n>=1
: ----------------------------------------------
: 用複變的話直接entire function + Liouville Thm 就結束了
: 可是回歸到高微，完全沒有方向QQ 湊了三角不等式也面臨又極限交換問題
: 謝謝幫忙!
為了回歸高微，可用以下的步驟
Step 1. 證明 Sigma a_n x^n 絕對收斂 for all x>0。
(註：此處不直接使用冪級數收斂半徑的性質)
由題設 f(2x) = Sigma a_n (2x)^n 收斂，故 |a_n (2x)^n| →0 as n→infinity
即 |a_n x^n|/(1/2)^n → 0，
因為等比級數 Sigma (1/2)^n 收斂，知Sigma |a_n x^n| 收斂。
Step 2.
設 z = r exp it, r>0, 0<=t<2pi
則 f(z) 的實部可表為
g(r,t) = Sigma r^n (b_n cos nt + c_n sin nt)
其中 a_n = b_n - c_n i
由Step 1. 可輕易解決積分交換的問題
因此可用公式：
對於 n > 0，
pi r^n b_n = 積分(0至2pi) g(r,t) cos nt dt
pi r^n c_n = 積分(0至2pi) g(r,t) sin nt dt
利用 g 有界，|g|<=M
則 |b_n| <= 2M / r^n，|c_n| <= 2M / r^n
此式對所有r>0皆，故必有成立 b_n = c_n = 0
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中 最 連 緊 閉 開
值 大 通 緻 集 集
在 最 到 映 返 返
中 小 連 緊 閉 開
間 值 通 緻 集 集
。 ， 。 ， ； ，
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