[分析] 複數冪級數z→infinity

看板Math作者 (QQ)時間9年前 (2016/04/12 17:15), 9年前編輯推噓4(4推 0噓 50→)
留言54則, 4人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
想請問一下如何不用複變的定理去證明以下這件事情： ∞ Let f(z) = Σ a_n*z^n , for all z€Complex plane n=0 if lim f(z) = L z→∞ then a_0 = L and a_n = 0 for all n>=1 ---------------------------------------------- 用複變的話直接entire function + Liouville Thm 就結束了 可是回歸到高微，完全沒有方向QQ 湊了三角不等式也面臨又極限交換問題 謝謝幫忙! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.226.98.38 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1460452509.A.30A.html
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04/12 17:38, , 1F
1/z is a harmonic morphism S^2->S^2, so ...
04/12 17:38, 1F
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04/12 17:51, , 2F
這已經比複變更複變了吧@@
04/12 17:51, 2F
難怪我去WIKI查關鍵字後覺得 我高微怎麼沒上過XDD
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04/12 18:02, , 3F
是高微證代數基本定理的方法
04/12 18:02, 3F
願聞其詳 我目前知道的3個方法分別是複變 幾何 拓樸 高微的方法是?? ※ 編輯: znmkhxrw (36.226.98.38), 04/12/2016 18:04:52
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04/12 18:03, , 4F
應該說類似
04/12 18:03, 4F
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04/12 18:09, , 5F
horizontally weakly conformal應該不用複變…
04/12 18:09, 5F
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04/12 18:12, , 6F
或者可以用高微證複變的open mapping theorem
04/12 18:12, 6F
這樣看起來的話似乎不是每一項搬一搬然後經由一些epsilon-delta 就能證出來的? 我原意是希望高微學完power series的性質後就能證出了 如果還需要證回複變的定理 或是用其他領域的性質的話 那我還是用複變的方法是最好說明的 謝謝囉! 原本是以為都是收斂半徑無限大的power series 了 應該搬一搬就出來了 看來是我想太多了XDDD ※ 編輯: znmkhxrw (36.226.98.38), 04/12/2016 18:19:36
推
04/12 18:26, , 7F
可能跟原PO說的幾何方法一樣 用三角不等式搬
04/12 18:26, 7F
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04/12 18:27, , 8F
不過似乎不可行
04/12 18:27, 8F
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04/12 18:27, , 9F
把maximal principle證一證用下去(誤)
04/12 18:27, 9F
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04/12 18:31, , 10F
其實maximal principle也不非要用複變才能證就是了
04/12 18:31, 10F
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04/12 18:35, , 11F
好奇如果用max怎麼做阿?? 以0為圓心 r為半徑的圓
04/12 18:35, 11F
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04/12 18:35, , 12F
│f│的最大值都在邊界上 之後r→inf 沒發現什麼@@
04/12 18:35, 12F
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04/12 18:54, , 13F
最大值會隨 r 遞增，但你又有 L 的條件
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04/12 18:54, , 14F
所以整個函數會被 L bound 住
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04/12 18:55, , 15F
*更正，從上 bound 住, 然後再取個負號
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04/12 18:55, , 16F
max principle 就壞掉了
04/12 18:55, 16F
不太懂耶 再者 "整個函數會被從上 bound 住" 這句話直接從極限存在以及f連續就可以得到了 你論證的邏輯是這樣嗎 1.Show│f│<=M 2.取負號( 這邊我不知道是對誰取 3.max principle 就壞掉了 ※ 編輯: znmkhxrw (36.226.98.38), 04/12/2016 19:02:30
推
04/12 19:08, , 17F
呃 我弄錯了
04/12 19:08, 17F
推
04/12 21:39, , 18F
∀ε>0, ∃R>0 s.t. |f-L|<ε ∀|z|>R
04/12 21:39, 18F
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04/12 21:42, , 19F
圓內和圓上f-L的最大值在|z|=R
04/12 21:42, 19F
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04/12 21:45, , 20F
頂多是ε，而且是一個全域上界。
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04/12 21:47, , 21F
但這個上界是任意的，所以f-L=0
04/12 21:47, 21F
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04/12 22:12, , 22F
了解了!! 題外話 如果條件改成f有界而非極限存在的
04/12 22:12, 22F
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04/12 22:12, , 23F
話 用max證明的這套方法就失敗了?? 試了一下好像是
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04/12 22:12, , 24F
如此 (雖然用Liouville還是秒殺XDD)
04/12 22:12, 24F
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04/12 23:07, , 25F
因為你可以考慮一個絕對值都是常數 但不是 entire
04/12 23:07, 25F
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04/12 23:08, , 26F
的複函數 所以一定還要加些條件
04/12 23:08, 26F
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04/12 23:16, , 27F
沒有這種函數吧...
04/12 23:16, 27F
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04/12 23:21, , 28F
有阿 好一點的就是 f(z) = conjugate of z
04/12 23:21, 28F
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04/12 23:23, , 29F
例子給錯 f(z) = conjugate of z / |z|
04/12 23:23, 29F
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04/12 23:23, , 30F
零點隨便取, 取 1 之類的
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04/12 23:28, , 31F
嗯，這是一個不holo的例子。
04/12 23:28, 31F
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04/12 23:29, , 32F
話說，[f(z)-f(0)]/z也是entire，對他用這題的結論
04/12 23:29, 32F
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04/12 23:30, , 33F
就會得到f(z)=f(0)了。所以還是可以用最大模原理。
04/12 23:30, 33F
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04/12 23:30, , 34F
忘了說，這裡的f(z)是bounded entire function
04/12 23:30, 34F
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04/12 23:31, , 35F
反正就是說Liouville可以用最大模原理證明啦。
04/12 23:31, 35F
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04/12 23:32, , 36F
對 我應該說不 holo 會更精確
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04/12 23:32, , 37F
所以我說那是好一點的XD
04/12 23:32, 37F
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04/12 23:33, , 38F
反了吧 Liouville 比 max principle 強多了
04/12 23:33, 38F
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04/12 23:34, , 39F
也不是說強多了 但兩者的方向不一樣
04/12 23:34, 39F
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04/12 23:53, , 40F
哦哦 我了解你的意思了
04/12 23:53, 40F
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04/13 02:50, , 41F
原來Liouville 可以用Max證 謝拉~~
04/13 02:50, 41F
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04/13 09:16, , 42F
Average property可以直接用高微證，不過不會太嚴謹
04/13 09:16, 42F
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04/13 09:16, , 43F
而之後可以用Average propery證Max
04/13 09:16, 43F
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04/13 09:19, , 44F
(只要知道有Poisson kernel這回事就行了)
04/13 09:19, 44F
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04/13 09:20, , 45F
或者可以直接用Poisson kernel證|f|<=L+epsilon
04/13 09:20, 45F
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04/13 09:24, , 46F
不過這兩種方法都似乎要用到C^2才能證uniqueness
04/13 09:24, 46F
推
04/26 22:54, , 47F
又回來推這篇了... 因為f的實部和虛部都harmonic
04/26 22:54, 47F
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04/26 22:55, , 48F
而且各自趨近於L的實部和虛部(uniformly)
04/26 22:55, 48F
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04/26 22:57, , 49F
所以先取一個正的d，然後-d<Re(f(z)-L)<d在某個圓外
04/26 22:57, 49F
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04/26 22:59, , 50F
選一個圓心在w的很大的圓(落在剛剛那個圓外)
04/26 22:59, 50F
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04/26 23:00, , 51F
那Re(f(z)-L)在這個圓上的平均會是Re(f(w)-L)
04/26 23:00, 51F
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04/26 23:00, , 52F
所以-d<Re(f(w)-L)<d，又因為d任意，所以Re(f(w)-L)
04/26 23:00, 52F
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04/26 23:02, , 53F
只能是0。同理Im(f(w)-L)=0。然後平面上每個w都可以
04/26 23:02, 53F
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04/26 23:02, , 54F
這樣算一次，所以f(z)=L。
04/26 23:02, 54F
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