Re: [中學] 有關幾何(不排除大學數學以上的解法)
※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 座標平面上曲線 y=x^4
: 現有一圓 C 過原點，圓心在 y 軸上，且圓上的點都不在曲線的下方
: (即圓上的點在曲線 y=x^4 上方或在曲線 y=x^4 上)。
: 求滿足上述條件的圓 C 之最大面積。
kerwinhui 大回文的方法很漂亮
以下是我的作法
考慮 a > 0 ， 且圓
x^2 + (y-a)^2 = a^2 和 y = x^4
有除了原點以外的交點，而且其圖形
皆在 y = x^4 之上
令 t = x^2 ，y = t^2 代入圓方程式可得
t * (t^3 -2at + 1) = 0
故 t = 0 (原點) 或 t^3 - 2at + 1 = 0
從圖來看，t^3 - 2at + 1 = 0 不可能有
三相異實根這種情況
因此判別式 D = -4(-2a)^3 -27 ≦ 0
a^3 ≦ 27/32
故該圓面積最大值 (9/8)*2^(-1/3)π
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03/17 18:59, , 1F
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感謝 kerwinhui 指正，當時考慮不周(其實沒想那麼多 XD)
(不能出現兩正這種情形)
兩負一正要另外排除
如果用微積分來處理的話 (中學方法破功)
可知 f(t) = t^3 - 2at + 1 只有一負根
那麼三相異實根的情況必然是一負兩正
接回原本情形
※ 編輯: Eliphalet (114.46.215.205), 03/17/2016 20:13:23
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03/17 20:35, , 2F
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03/17 20:37, , 3F
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03/18 12:43, , 6F
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03/18 12:44, , 7F
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03/18 12:48, , 9F
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討論串 (同標題文章)
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