[分析] 類似微分的問題
好久沒PO文了XD 最近遇到一個問題
f：(a,b) → R , c€(a,b)
f(c+h) - f(c)
f在c可微的定義是 lim ──────── 存在
h→0 h
我想證明，如果f在c可微
f(c+h) - f(c+k)
那是否有 lim ──────── = f'(c)
(h,k)→(0,0) h - k
h≠k
以下是我所能做到的事情：
1.反過來很簡單是對的
2.限制(h,k)是直線方向逼近都是對的
3.條件如果改強一點就可以證出來：
Further assume that f is differentiable around c and f' continuous at c
有了這條件，對 f(c+h) - f(c+k) 用 Mean value theorem 就出來了
4.承2.，因此要找反例只能從"否定條件"去找，因此我先試了weierstrass 處處連續
不可微的函數w(x)，定義f(x) = xw(x)，不難證出f只能在0可微
但是計算 f(0+h) - f(0+k) hw(h) - kw(k)
──────── = ─────── 也湊不出矛盾
h-k h-k
5.想證命題是對的，目前湊出
f(c+h) - f(c+k) h f(c+h)-f(c) k f(c+k)-f(c)
──────── = ─── ────── - ─── ──────
h-k h-k h h-k k
^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
稱為D 稱為A 稱為B
但是發現：
h
(a) 對前後不能分開取極限，因為 lim ─── 極限不存在
h-k
(b) 雖然我們知道當(h,k)夠靠近0的時候，│A│,│B│<ε
而且如果真的極限存在，由1.講的他必定是f'(c)
所以我去估計│D-f'(c)│但是本身h、k、h-k、A、B的正負問題，最後只能導出
h k
│D-f'(c)│<= (│───│+│───│)ε
h-k h-k
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
不可能有界
目前就這樣...想好久
謝謝!!
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推
09/25 16:39, , 1F
09/25 16:39, 1F
1.指的是 我證出了(也很簡單)
f(c+h) - f(c+k)
If lim ──────── exists with value L
(h,k)→(0,0) h - k
h≠k
then f is differentiable at c with f'(c) = L
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.101.226), 09/25/2015 16:50:43
推
09/25 17:44, , 2F
09/25 17:44, 2F
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09/25 17:47, , 3F
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09/25 17:53, , 4F
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09/25 17:54, , 5F
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09/25 18:16, , 6F
09/25 18:16, 6F
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09/25 18:28, , 7F
09/25 18:28, 7F
0.0 ?? 謝謝你幫忙想喔~~我當時就是卡在加條件 不加造不出QQ
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.101.226), 09/25/2015 23:41:07
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