Re: [分析] 類似微分的問題
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 好久沒PO文了XD 最近遇到一個問題
: f：(a,b) → R , c€(a,b)
: f(c+h) - f(c)
: f在c可微的定義是 lim ──────── 存在
: h→0 h
: 我想證明，如果f在c可微
: f(c+h) - f(c+k)
: 那是否有 lim ──────── = f'(c)
: (h,k)→(0,0) h - k
: h≠k
: 以下是我所能做到的事情：
: 1.反過來很簡單是對的
: 2.限制(h,k)是直線方向逼近都是對的
: 3.條件如果改強一點就可以證出來：
: Further assume that f is differentiable around c and f' continuous at c
: 有了這條件，對 f(c+h) - f(c+k) 用 Mean value theorem 就出來了
: 4.承2.，因此要找反例只能從"否定條件"去找，因此我先試了weierstrass 處處連續
: 不可微的函數w(x)，定義f(x) = xw(x)，不難證出f只能在0可微
: 但是計算 f(0+h) - f(0+k) hw(h) - kw(k)
: ──────── = ─────── 也湊不出矛盾
: h-k h-k
: 5.想證命題是對的，目前湊出
: f(c+h) - f(c+k) h f(c+h)-f(c) k f(c+k)-f(c)
: ──────── = ─── ────── - ─── ──────
: h-k h-k h h-k k
: ^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
: 稱為D 稱為A 稱為B
: 但是發現：
: h
: (a) 對前後不能分開取極限，因為 lim ─── 極限不存在
: h-k
: (b) 雖然我們知道當(h,k)夠靠近0的時候，│A│,│B│<ε
: 而且如果真的極限存在，由1.講的他必定是f'(c)
: 所以我去估計│D-f'(c)│但是本身h、k、h-k、A、B的正負問題，最後只能導出
: h k
: │D-f'(c)│<= (│───│+│───│)ε
: h-k h-k
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 不可能有界
: 目前就這樣...想好久
: 謝謝!!
反例:
x^2 x in Q
Let f(x) =
0 otherwise
f'(0)=0
取 k=h+πh^2 , h 有理數
f(h)-f(k) h^2 - 0
──── = ────── = -π
h-k h -(h+πh^2)
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