Re: [數論] 如何解這一題？
※ 引述《ahtccc (更新中...)》之銘言：
mn!/(n!)^m 為整數，也就是(n!)^m可整除 mn!
證明 n! 可整除(kn+1)(kn+2)...(kn+n)
k=0,1,2,..,m-1
對任何一個大於等於1小於等於n的整數x皆能整除(kn+1)(kn+2)...(kn+n)則可說n!能整除
(kn+1)(kn+2)...(kn+n) 嗎?
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原po這裡犯的是邏輯的問題。
1) 1~n 所有數都整除 X， n!是否整除X，答案是False。
2) 1~n 所有數都整除 X=(kn+1)(kn+2)...(kn+n)，n!是否整除X，答案是True。
本來的問題是 (kn+1)(kn+2)...(kn+n)是否被n!整除
原po嘗試的解法是：
i) 因為X是n個連續整數相乘，所以1~n都整除X
ii) 因為1~n都整除X，所以X被n!整除。
注意到第二步的時候，X是連續整數相乘的性質並沒有被用到。
因此就變成上面命題(1)的情況
X從連續n個整數相乘的條件下放出成只知道1~n都整除X
在這個情況下，答案就變成False了。
事實上，n個連續正整數相乘，一定被n!整除，因此也一定分別被1~n整除。
證明可以用C(K,n)去想(其實2F有說過了。)
如果不用組合的方式解(有些題目會禁止組合解)
那就直接的算質因數吧。
考慮n!的質因數形式 p_1^q_1 p_2^q_2...p_m^q_m
對於每一個 p_i，一定也可以在 n個相乘的正整數中找到q_i個p_i
[X/p_i] + [X/p_i^2] + ..... >= q_i = [n!/p_i] + [n!/p_i^2] + ....
細節就不補了，只是想說明一下原po的邏輯謬誤。
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