Re: [中學] 高中橢圓相關證明
※ 引述《Eliphalet (Mournful Monday)》之銘言：
: ※ 引述《douglas0741 (這樣對還是不對?)》之銘言：
: : 試證明: 橢圓中 1.正焦弦為最短焦弦
: : 2.長軸為最長弦
: : 3.短軸為最短弦
: : 忽然間被問到..感覺很直觀不知道如何證明 有從參數式下手,但是無功而返
: : 希望有高手能夠指點~
: 不失一般性，可以考慮橢圓的標準方程(不然就旋轉坐標軸 + 平移)
: x^2 y^2
: ----- + ----- = 1
: a^2 b^2
: 令此橢圓為 Γ 並設 a > b > 0
: 其焦點為 F1(-c,0) 及 F2(c,0)， c = sqrt(a^2-b^2)
: 1.
: 設半正焦弦長為 d，則有 (2a-d)^2 = d^2 + 4(a^2-b^2)
: => d = b^2/a => 正焦弦長 2d = 2b^2/a
: 令一過 F2 點直線 L : y = m(x - c) 交 Γ 於 P1 P2
: 代入方程式中並經過計算後得到
: 4a^2b^2 [m^2(a^2-c^2)+b^2](m^2+1)
: (dist(P1,P2))^2 = ------------------------------------
: (m^2a^2 + b^2)^2
: 2ab^2 (m^2+1)
: 所以 dist(P1,P2) = -------------------
: (m^2a^2 + b^2)
: 2b^2 m^2 + 1
: = ------ * -----------------
: a (m^2 + (b/a)^2)
: ≧ 2b^2/a = 2d
: 2.
: 可考慮圓 C : x^2+y^2 = a^2 ，則對於 C 上的點 (x,y)
: x^2/a^2 + y^2/b^2 ≧ 1 ， 因此橢圓 Γ 在 C 的內部
: 或頂多碰到 C 的邊界，因此
: 2a = diam (C) ≧ diam(Γ)
: ( diam(Γ) 為 Γ 上任取兩點其距離的最大值)
: 又長軸 = 2a ， 因此長軸為最長弦
: 3.
: 這有點問題，顯然正焦弦長 = 2b^2/a < 2b
: 這就不對了
→
06/06 19:55,
06/06 19:55
由於圖形對稱性的關係，假設過原點有某直線交橢圓於點 (x,y)，則
該直線必跟橢圓有另一交點 (-x,-y)。
設弦長 L，則有 L^2 = 4(x^2+y^2)
因此 b^2 = (b/a)^2 x^2 + y^2
≦ 1/4 L^2
故 L ≧ 2b，亦即過中心的弦中，短軸為最短弦
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