Re: [微積] ((sinv)/v)cos(vx/2)的積分
※ 引述《rtyxn (ask)》之銘言：
: ∞
: 要求(2/π)∫ ((sinv)/v)cos(vx/2)dv
: 0
: 實在不知道怎麼積，而且答案意外的簡單
: ans. 1,x<2；0,x>2
: 請給我一些提示，謝謝。
∞
可以不用知道∫sin(x)/x dx的值
0
u = x/2
∞
(2/π)∫ ((sinv)/v)cos(vu)dv
0
∞∞
= (2/π)∫∫ sin(v)cos(vu)exp(-vt)dt dv
0 0
∞ ∞
= (1/π)∫ ∫exp(-vt){sin[(1 + u)v] + sin[(1 - u)v]} dv dt
0 0
∞ (1 + u) (1 - u)
= (1/π)∫ [________________ + ________________] dt
0 t^2 + (1 + u)^2 t^2 + (1 - u)^2
= (1/π)[sgn(1 + u) + sgn(1 - u)](π/2) 其中sgn(0) = 0
0 |u| > 1 等同 |x| > 2
= (1/π) 2 (π/2) |u| < 1 等同 |x| < 2
1/2 |u| = 1 等同 |x| = 2
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推
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