Re: [中學] 多項式兩題求解
※ 引述《kyrieny (kyrie)》之銘言：
: 1.已知 Y=8X^2-13X-2 與 Y=X^2+KX-K^2+K 兩圖型交於(a,b) (c,d)兩點
: 若0<a<1<c<2 求K之範圍?
: 我的想法是既然兩者交於點 那就將兩式直接聯立求解
: 8X^2-13X-2=X^2+KX-K^2+K
: 7X^2-(K+13)X+(K^2-K-2)=0
: 此方程式的解應該就是兩點的X座標
: 同時已知a c 範圍
: 0<a<1 1<c<2
: 故 0<ac<2
: 由上述方程式可知兩根積為(K^2-K-2)/7
: 最後透過0<(K^2-K-2)/7<2範圍去求K範圍
: 但這樣算出來答案是錯的...
: 答案為-2<K<-1 或3<K<4
令 f(x) = 8x^2-13x-2 = 8(x-13/16)^2 - 233/32
g(x) = x^2+kx-k^2+k = (x+k/2)^2 + k - 5/4 k^2
f(0) = -2，g(0) = -k^2+k ; f(1) = -7， g(1) = -k^2+2k+1
f(2) = 4 ，g(2) = -k^2+3k+4
1. 如果 g(0) > f(0)，此時的 -1 < k < 2， -1 < -k/2 < 1/2
-6 < k - 5/4 k^2 < 3/4 ，此時若 f = g 有兩相異實根
則較小的那根一定小於 0，這不合
所以 k < -1 或 k > 2
2. 同理，如果 g(2) > f(2)，此時 0 < k < 3， -3/2 < -k/2 < 0
若 f = g 有兩相異實根，則較大那根必大於 2 ，這也不對
所以 k < -1 或 k > 3
3. 再來是如果 g(1) < f(1)，此時 k > 4 或 k < -2， -k/2 < -2 或 -k/2 > 1
若 k > 4，則此時沒有介於 0 到 1 之間的實根，不行
若 k < -2，則此時 g(2) = -k^2+3k+4 = -(k-4)(k+1) < -6 < f(2)
故此時沒有介於 1 到 2 之間的實根，也不行
所以 k 的範圍是 -2 < k < -1 或 3 < k < 4
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05/17 09:50, , 1F
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