[微積] Improper Integral 問題

看板Math作者 (何以解憂?)時間10年前 (2015/05/11 16:44), 10年前編輯推噓2(2推 0噓 21→)
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t 1. lim ∫ sin x dx = 0 t→∞ -t ∞ 2. ∫ sin x dx => divergent -∞ 上述的原因是因為， 第1式的對稱性與奇函數而可相消 第2式中的「-∞」&「∞」不一定是同樣停在同一個位置/大小 then.... 3 1 3. ∫ ------- dx 0 x - 1 通常會犯的錯誤是直接積分 然後 => 原式 = ln |x-1| (代入上下界) = ln |3-1| - ln |0-1| = ln 2 ---------------------------------------------- 利用瑕積分來解題目 t 1 4. (第3式) = lim ∫ ------- dx =====> A t→1- 0 x - 1 　　　　　　　　 3 1 + lim ∫ ------- dx =====> B 　　　　　　 u→1+ u x - 1 A = -∞, so A+B is divergent. ----------------------------------------------- 然而為什麼不能可以是(0~1) & (1~2) 利用對稱性相消 然後2~3的部分再行計算? 是因為前者"1 minus"和後者"1 plus"跑的速度不一致(距離1的位置大小不同)嗎? -- 我毋是好子 嘛毋是歹人 我只係愛暝夢 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.161.43.56 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1431333892.A.35C.html ※ 編輯: jazzprozac (1.161.43.56), 05/11/2015 16:53:11 ※ 編輯: jazzprozac (1.161.43.56), 05/11/2015 16:55:52 ※ 編輯: jazzprozac (1.161.43.56), 05/11/2015 16:57:58 ※ 編輯: jazzprozac (1.161.43.56), 05/11/2015 17:15:26
推
05/12 01:00, , 1F
See: Cauchy principal value
05/12 01:00, 1F
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05/15 05:42, , 2F
1. 是 2. 的 柯西主值. 但瑕積分的定義不是這樣算.
05/15 05:42, 2F
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05/15 05:44, , 3F
試想一下, 積分範圍是整條數線時, f(x-a) 與 f(x)
05/15 05:44, 3F
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05/15 05:45, , 4F
的積分如果存在, 是否應該一樣? 或者說, 如果 2. 的
05/15 05:45, 4F
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05/15 05:45, , 5F
積分如果存在, 是不是以任何一點為分割點分成兩個
05/15 05:45, 5F
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05/15 05:46, , 6F
積分在加總, 結果是不是應該一樣? 然而, 1. 如果改
05/15 05:46, 6F
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05/15 05:47, , 7F
成以其他點而不以 0 為分割點, 其極限值是不同的,
05/15 05:47, 7F
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05/15 05:49, , 8F
即: ∫_[-t,t] sin(x) 與 ∫_[a-t,a+t] sin(x) 的極
05/15 05:49, 8F
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05/15 05:49, , 9F
限不等.
05/15 05:49, 9F
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05/15 05:50, , 10F
至於 3. 的問題關鍵不在於其真正結果是發散的, 而在
05/15 05:50, 10F
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05/15 05:51, , 11F
於微積分基本定理 ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a) 的
05/15 05:51, 11F
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05/15 05:51, , 12F
套用必須 F(x) 確實是 f(x) 的反導數.
05/15 05:51, 12F
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05/15 05:52, , 13F
雖然一般我們寫 ∫1/(x-1) dx = ln|x-1| + C, 但在
05/15 05:52, 13F
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05/15 05:53, , 14F
包含 1 的區間, ln|x-1| 並非 1/(x-1) 的反導數.
05/15 05:53, 14F
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05/15 05:54, , 15F
確實, 在不包含 1 的區間, 也就是說在 (1,∞) 及在
05/15 05:54, 15F
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05/15 05:54, , 16F
(-∞,1), ln|x-1| 都是 1/(x-1) 的反導數, 但一跨
05/15 05:54, 16F
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05/15 05:55, , 17F
越 1 就不是.
05/15 05:55, 17F
推
05/15 06:02, , 18F
例如 sgn(x) = -1 當 x<0, =0 當 x=0, =1 當 x>0
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05/15 06:04, , 19F
(取消上一列)
05/15 06:04, 19F
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05/15 06:17, , 20F
例如 F(x) = x[x]/2 在非整數點的斜率是 (x+[x])/2
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05/15 06:18, , 21F
因此可以說在不包含整數點的區間, (x+[x\)/2 的反導
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05/15 06:19, , 22F
函數是 x[x]/2 + C. 但在包含整數點的區間積分
05/15 06:19, 22F
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05/15 06:20, , 23F
(x+[x])/2, 卻不能以 F(b)-F(a) 代入計算.
05/15 06:20, 23F
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文章代碼(AID): #1LK6m4DS (Math)
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