Re: [微積] Improper Integral 問題
※ 引述《jazzprozac (何以解憂?)》之銘言：
: t
: 1. lim ∫ sin x dx = 0
: t→∞ -t
: ∞
: 2. ∫ sin x dx => divegent
: -∞
: 上述的原因是因為，
: 第1式的對稱性與奇函數而可相消
: 第2式中的「-∞」&「∞」不一定是同樣停在同一個位置/大小
: then....
: 3 1
: 3. ∫ ------- dx
: 0 x - 1
: 通常會犯的錯誤是直接積分
: 然後 => 原式 = ln |x-1| (代入上下界)
: = ln |3-1| - ln |0-1|
: = ln 2
: ----------------------------------------------
: 利用瑕積分來解題目
: t 1
: 4. (第3式) = lim ∫ ------- dx =====> A
: t→1- 0 x - 1
: 3 1
: + lim ∫ ------- dx =====> B
: u→1+ u x - 1
: A is divergent,
: so A+B is divergent.
: -----------------------------------------------
: 然而為什麼不能可以是(0~1) & (1~2) 利用對稱性相消
: 然後2~3的部分再行計算?
: 是因為前者"1 minus"和後者"1 plus"跑的速度不一致(距離1的位置大小不同)嗎?
簡單的說一下。你微積分課本裡面定義的 Riemann 積分有以下限制
1. 函數定義在閉區間 [a,b]， -∞ < a < b < +∞
2. 函數必須有界
少了這兩點，就變成瑕積分，我們用極限來定義它。
第一個例子，是因為在 R 上積分，第二個例子是因為在 x=1 那點有 singularity
因此這兩個都是瑕積分。
3 t 3
第二個例子 ∫ 1/(x-1) dx := lim ∫ 1/(x-1) dx + lim ∫ 1/(x-1) dx
0 t→1- 0 u→1+ u
如果要定義這個瑕積分的話，至少這兩個極限不能同時有 +∞ 和 -∞ 出現
( 避掉 ∞-∞ 及 -∞+∞ 這種情況，這沒辦法定義 )
但是很衰小的是，第一個為 -∞，第二個為 +∞，那當然瑕積分就不存在囉
這裡千萬不能對消，這個玩意兒不是黎曼積分，你不能用黎曼積分的結果來
宣稱 1- 2
∫ 1/(x-1) dx + ∫ 1/(x-1) dx = 0
0 1+
如果你硬要消掉一些東西的話，頂多做到
t 2
∫ 1/(x-1) dx + ∫ 1/(x-1) dx = 0 ， 0 < t < 1
0 2-t
1- 2-t
最後還是要回到瑕積分 ∫ 1/(x-1) dx + ∫ 1/(x-1) dx
t 1+
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.213.101
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1431336714.A.CCD.html
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：