Re: [中學] n次方程式重根定理
※ 引述《ntuyeh (酷小忍龍)》之銘言：
: 多項式f(x)滿足f(1)=f'(1)=f(2)=f'(2)=1，
: 則f(x)除以x^4-6x^3+13x^2-12x+4的餘式為？
: 我知道這種題目的解法就是設f(x) -1 = (x-1)^2 (x-2)^2 Q(x)
: 我好奇的是這麼一來 f(x)不就是 (x-1)^2 (x-2)^2 Q(x) + 1 嗎
: 對x微一次1就不見了
: 變成 f'(x) = d/dx { (x-1)^2 (x-2)^2 Q(x) }
: 這樣有辦法保證f'(1)=1 ?
: 推 LPH66 : = 1 就不能這樣設了 03/28 23:13
: → wayn2008 : 先寫出餘式定理吧!然後分解除式 再來想辦法... 03/28 23:18
: 殺虫?!?! 可是解析也這樣寫.........= =
: 題目(2) http://ppt.cc/5YO1 解析 http://ppt.cc/k3pR
正確的設法是這樣的:
以f(1) = f'(1) = 1 為例
首先 f(1) = 1 可設 f(x) = q(x)(x-1) + 1
微分得 f'(x) = q'(x)(x-1) + q(x)(1) (這邊用乘積律, 我不確定高中有沒有教..)
故 f'(1) = q(1) = 1 所以我們也要令 q(x) = q2(x)(x-1) + 1
放回去就是 f(x) = (q2(x)(x-1) + 1)(x-1) + 1 = q2(x)(x-1)^2 + 1*(x-1) + 1
出題者八成把這種重根性質弄錯了
這性質只在都 = 0 時才有
非零時需要加上像上面那樣的兩項
(基本形式是 f(x) = Q(x) (x-a)^2 + f'(a)*(x-a) + f(a)
這形式可以用跟上面類似的推論方式而得)
只是正好 f(a) = f'(a) = 0 時後面兩項是不見了的
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題外話, 這個概念延伸到高次微分就是初微的泰勒級數
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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
－－プリンセス・プリンセス 第二話
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