[代數] 數論一題

看板Math作者 (請加油~)時間10年前 (2015/03/22 08:33), 編輯推噓0(0推 0噓 10→)
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求正整數x,y 使得 x^2 - 2y^2 = 1 解: (x-(√2)y)(1-(√2))(x+(√2)y)(1+(√2)) = -1 => (x+2y)^2 - 2(x+y)^2 = -1 令x'=x+2y, y'=x+y 同樣的方法 (x'+2y')^2 - 2(x'+y')^2 = 1 故 x^2 - 2y^2 = 1 => (3x+4y)^2 - 2(2x+3y)^2 = 1 先給個顯然的初始解: x=1, y=0 我們可以找到 (3,2), (17,12), (99,70), (577,408)..等無限多組解 我的問題是 是否還存在其它解? 因為這個解法只是給出一個遞迴式 唯一性不知道怎麼證明 (我想很久證不出來 也有可能不唯一) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 76.88.120.148 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1426984391.A.403.html
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03/22 08:34, , 1F
範圍應該屬於數論的diophantine equation
03/22 08:34, 1F
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03/22 08:34, , 2F
但內容我幾乎忘光了 囧
03/22 08:34, 2F
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03/22 09:36, , 3F
請搜尋 Pell's equation
03/22 09:36, 3F
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03/22 10:39, , 4F
好像沒有搜尋到為什麼(x+y√2)^k的係數是唯一解
03/22 10:39, 4F
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03/22 10:41, , 5F
不過我相信再繼續找就可以解決 感恩
03/22 10:41, 5F
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03/23 11:55, , 6F
只有有解，就會有無限多組解
03/23 11:55, 6F
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03/23 20:06, , 7F
hateann, 不是對所有的代數多項式都是只要有解就會
03/23 20:06, 7F
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03/23 20:06, , 8F
有無限多組解. 譬如 x^3-y^2=1, 只有一組整數解.
03/23 20:06, 8F
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03/23 20:07, , 9F
錯了, 是 x^3-y^2=2.
03/23 20:07, 9F
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03/23 23:03, , 10F
用 O_{Q(sqrt(2))} 是 UFD
03/23 23:03, 10F
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