Re: [中學] AMC10兩道題目

看板Math作者LPH66 (1597463007)時間11年前 (2015/02/07 01:19)推噓4(4推 0噓 16→)

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※ 引述《revengeiori (大笨宗)》之銘言： : 1. : 八人圍成一桌而坐，每人握有一公正硬幣，八個人都投擲一次硬幣後，若出現正面則站起 : 來，反面則坐著，試問： : 沒有相鄰的兩人都是站立的機率為多少？八人圓桌不連號沒人站立 → 1 種一人站立 → 8 種二人站立 → 8*5/2 = 20 種 (第二個站著的有五種選法, 但每種結果會被算兩次) 三人站立 → 8*2 = 16 種 (基本形是 135 跟 136 兩種, 其他的都是這兩種去旋轉來的 135 → 246、357、468、571、682、713、824 136 → 247、358、461、572、683、714、825 之所以基本形只有這兩種可以考慮他們之間坐著的人數即知) 四人站立 → 2 種 (只有 1357 跟 2468 兩種) 總計 47 種, 機率 47/256 : 2. : 有一邊長為1之正方形，在正方形的邊界上任取兩點，若這兩點的連線段長至少是1/2的機 : 率是多少？ http://www.quora.com/Let-S-be-a-square-of-side-length-1-Two-points-are-chosen-independently-at-random-on-the-sides-of-S-The-probability-that-the-straight-line-distance-between-them-is-at-least-one-half-is-a-b-pi-c-where-a-b-and-c-are-positive-integers-and-gcd-a-b-c-1-What-is-a+b+c (短網址 http://ppt.cc/Q8II ) 轉述他的做法如下: (1) 若兩點在對邊 (機率 1/4), 則條件必成立； (2) 若兩點在鄰邊 (機率 1/2), 則建立坐標系使這兩鄰邊交點為原點且兩點坐標為 (0,a) 及 (b,0), 其中 0≦a,b≦1 兩點距離至少 1/2 的條件即為 a^2+b^2≧1/4 b 1│ 若將符合條件的 a,b 畫成另一個坐標系則此條件的範圍是類似左圖的綠色區域 ◥ ＿＿ (正方形挖掉左下角半徑 1/2 的四分之一圓) │ 1 a 面積易求得為 1-π/16, 這即是這狀況下的機率 (3) 若兩點在同一邊 (機率 1/4), 則建立坐標系使兩點坐標為 (a,0), (b,0) 兩點距離至少 1/2 的條件即為 |a-b|≧1/2 b 1│ 在 a,b 座標系上是左邊綠色的這一塊 ◢ ◢ 面積易知為 1/4, 這即是這狀況下的機率 ◢ ＿ ◢ ＿ │ 1 a 總計所求機率為 (1/4)(1) + (1/2)(1-π/16) + (1/4)(1/4) = (26-π)/32 : 小弟在此先謝過大家了 -- 有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；也有人喜歡邊聽歌邊打字。但是，我有個請求，選字的時候請專心好嗎？ -- 改編自「古火田任三郎」之開場白 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.39.85 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1423243141.A.361.html

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