Re: [分析] 一題求極限值
※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: ※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: 先謝，但我有點看不懂你的估計。
: 今天想想算了一下發現快作出來了，不過有一個地方無法解決，請強者指點一下。
: (以下Σ的上下標皆為 k=1 -> k=n-1)
: 由分配律 Σk(a_k - 5)(b_(n-k) - 3)
: = Σk(a_k)(b_(n-k)) - 3Σk(a_k) - 5Σk(b_(n-k)) + 15Σk
: = Σk(a_k)(b_(n-k)) - 3Σk(a_k - 5) - 5Σk(b_(n-k) - 3) - 15Σk
: 可得 Σk(a_k)(b_(n-k)) - 15Σk
: = Σk(a_k - 5)(b_(n-k) - 3) + 3Σk(a_k - 5) + 5Σk(b_(n-k) - 3)
: 又 15Σk = 15n(n-1)/2
: 且原式若極限存在，將分母換成 n(n-1) 則新的極限式也存在並於原式極限相等，故
: |Σk(a_k)(b_(n-k))/n(n-1) - 15/2|
: = |Σk(a_k - 5)(b_(n-k) - 3) + 3Σk(a_k - 5) + 5Σk(b_(n-k) - 3)|/n(n-1)
: ≦ [Σk|a_k - 5||b_(n-k) - 3|]/n(n-1) ... (1)
: + [3Σk|a_k - 5|]/n(n-1) ... (2)
: + [5Σk|b_(n-k) - 3|]/n(n-1) ... (3)
: 其中因為 k/n < 1 for k = 1,2,...,(n-1)，故
: (2)≦[3Σ|a_k - 5|]/(n-1) -> 0 as n -> oo (a_n 算數平均數的極限 = 5)
: (3)≦5Σ|b_(n-k) - 3|]/(n-1) -> 0 as n -> oo (b_n 算數平均數的極限 = 3)
: (1)≦[Σ|a_k - 5||b_(n-k) - 3|]/(n-1) <-- 但是這個的極限怎麼說明也是 0 呢？
k > n_1, |a_k - 5| < √(2e)
k > n_2, |b_k - 3| < √(2e)
n_1
n > N_1, Σ|a_k - 5|/n(n-1) < √(2e)
k=1
n-1
n > N_2, Σ|b_(n-k) - 3|/n(n-1) < √(2e)
k=n-n_2
對任意n > max{N_1, n_1} + max{N_2, n_2}
n_1 n-n_2-1 n-1
{Σ|a_k-5||b_(n-k)-3| + Σ|a_k-5||b_(n-k)-3| + Σ|a_k-5||b_(n-k)-3|}/n(n-1)
k=1 k=n_1+1 k=n-n_2
< [√(2e)^2]/2 < e
不要再去看我前一篇了
也許有一些細節我沒有注意
但是基本精神就是這個方法
直接就可以用來證原式
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※ 編輯: Honor1984 (61.228.134.166), 01/24/2015 19:06:47
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