Re: [分析] 一題求極限值
※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: : 設 a_n -> 5 as n -> oo
: : b_n -> 3 as n -> oo
: : Sigma(k from 1 to n-1) k(a_k)(b_(n-k))
: : 求 lim ----------------------------------------
: : n->oo n^2
先謝，但我有點看不懂你的估計。
今天想想算了一下發現快作出來了，不過有一個地方無法解決，請強者指點一下。
(以下Σ的上下標皆為 k=1 -> k=n-1)
由分配律 Σk(a_k - 5)(b_(n-k) - 3)
= Σk(a_k)(b_(n-k)) - 3Σk(a_k) - 5Σk(b_(n-k)) + 15Σk
= Σk(a_k)(b_(n-k)) - 3Σk(a_k - 5) - 5Σk(b_(n-k) - 3) - 15Σk
可得 Σk(a_k)(b_(n-k)) - 15Σk
= Σk(a_k - 5)(b_(n-k) - 3) + 3Σk(a_k - 5) + 5Σk(b_(n-k) - 3)
又 15Σk = 15n(n-1)/2
且原式若極限存在，將分母換成 n(n-1) 則新的極限式也存在並於原式極限相等，故
|Σk(a_k)(b_(n-k))/n(n-1) - 15/2|
= |Σk(a_k - 5)(b_(n-k) - 3) + 3Σk(a_k - 5) + 5Σk(b_(n-k) - 3)|/n(n-1)
≦ [Σk|a_k - 5||b_(n-k) - 3|]/n(n-1) ... (1)
+ [3Σk|a_k - 5|]/n(n-1) ... (2)
+ [5Σk|b_(n-k) - 3|]/n(n-1) ... (3)
其中因為 k/n < 1 for k = 1,2,...,(n-1)，故
(2)≦[3Σ|a_k - 5|]/(n-1) -> 0 as n -> oo (a_n 算數平均數的極限 = 5)
(3)≦5Σ|b_(n-k) - 3|]/(n-1) -> 0 as n -> oo (b_n 算數平均數的極限 = 3)
(1)≦[Σ|a_k - 5||b_(n-k) - 3|]/(n-1) <-- 但是這個的極限怎麼說明也是 0 呢？
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.39.96.171
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1422045662.A.BB5.html
→
01/24 08:45, , 1F
01/24 08:45, 1F
→
01/24 08:46, , 2F
01/24 08:46, 2F
討論串 (同標題文章)