Re: [微積] 證明lim(n->oo) (1+1/n)^n 極限存在
※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: 如題
: 證明 lim(n->oo) (1+1/n)^n 極限存在
: 要證遞增且有上界，記得以前看過一個初等方法，
: 不過滿巧妙的已經忘了 QQ
先證 (1+1/n)^n 遞增
考慮 1 與 n 個 (n+1)/n (共n+1個正數)
其算數平均 = (n+2)/(n+1) = 1+1/(n+1)
幾何平均 = (1+1/n)^(n/(n+1))
→ (1+1/(n+1))^(n+1) ≧ (1+1/n)^n
再證 (1+1/n)^(n+1) 遞減
考慮 1 與 n+1 個 n/(n+1) (共n+2個正數)
AM = (n+1)/(n+2)
GM = (n/(n+1))^((n+1)/(n+2))
→ ((n+1)/(n+2))^(n+2) ≧ (n/(n+1))^(n+1)
→ ((n+2)/(n+1))^(n+2) ≦ ((n+1)/n)^(n+1)
→ (1+1/(n+1))^(n+1+1) ≦ (1+1/n)^(n+1)
顯然 (1+1/n)^n < (1+1/n)^(n+1) ≦ 4 for all n
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推
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