Re: [中學] 實數解
※ 引述《icu (這是可以說的秘密)》之銘言：
: 滿足 x^3 - y^3 = 7(x-y) 和 x^3 + y^3 = 5(x+y) 所有實數數對(x,y)有幾組 ?
: ans: 7 組
: 我是先聯立後直接下三次判別式，想請高手解解看有沒有更漂亮的做法
: 謝謝
x^3-y^3 = 7(x-y) => (x^3-y^3) - 7(x-y) = 0
=> (x-y)(x^2+xy+y^2-7) = 0
x^3+y^3 = 5(x+y) => (x^3+y^3) - 5(x+y) = 0
=> (x+y)(x^2-xy+y^2-5) = 0
(1) x = y = 0 顯然為解
(2) x = y ≠ 0: 於是 x^2-xy+y^2-5 = 0 代入 x = y 解得 x = y = ±√5
(3) x = -y: x = 0 則為 (1) 的解
x ≠ 0 則只有 x^2+xy+y^2-7 = 0 代入 x = -y 解得 x = -y = ±√7
(4) x≠y, -y: 只能有 {x^2+xy+y^2 = 7 相減得 2xy = 2 => xy = 1
{x^2-xy+y^2 = 5
於是 {x^2+2xy+y^2 = 8 即 {(x+y)^2 = 8 即 {x+y = ±√8
{x^2-2xy+y^2 = 4 {(x-y)^2 = 4 {x-y = ±2
由此得 (x,y) = (√2 + 1, √2 - 1)
(√2 - 1, √2 + 1)
(-√2 + 1, -√2 - 1)
(-√2 - 1, -√2 + 1)
共計九組解
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推
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